動態規劃【8】之狀態壓縮DP（2）

例題：luogu1896 [SCOI2005]互不侵犯

在$N×N$的棋盤裏面放$K$個國王，使他們互不攻擊，共有多少種擺放方案。國王能攻擊到它上下左右，以及左上左下右上右下八個方向上附近的各一個格子，共$8$個格子。
限制條件：$N\leq9, K\leq N×N$。

暴力

萬事都從暴力的方法說起， 考慮深度優先搜索，將在$N×N$拿出$K$個放國王，即$C(N^2,K)$（排列組合）的時間複雜度(當然應該達不到）。最壞情況$N=9$時超時。

優化

一個國王只能攻擊到他周圍的$8$個格子，也就是最後只能影響到$3$行（包括所在行）。第$1$行放置的國王只能影響到第$1$行和第$2$行。因此，我們可以一行一行放置國王，以減少枚舉狀態。

每一行看成一個狀態$mask$，由長度爲$n$的$0/1$串表示，$1$表示放了國王，$0$表示沒有放國王（$0/1$串見動態規劃之狀態壓縮DP中的描述）。如果$mask$由兩個相鄰的$1$是不合法的（對應行內相鄰位置放了兩個國王，後面將介紹二進制的運算）；同時相鄰行的$mask1$和$mask2$也要滿足互相不能攻擊到。

DP狀態及轉移式

我們一行一行放置國王，用$dp[i][mask][k]$表示放置了前$i$行，第$i$行國王的狀態爲$mask$，前$i$行總共放了$k$個國王的方案。
轉移式：$dp[i][mask][k]=\sum\{dp[i-1][mask2][k-p[mask]]\},$
其中$p[mask]$表示$mask$在二進制表示下$1$的個數，$k\geq p[mask]$，$mask2$本身要合法，同時$mask$和$mask2$之間也要合法（國王不能互相攻擊到）。

初始化：$dp[0][0][0]=1$, 其餘值爲$0$。

輸出：$\sum_{mask=0}^{mask=2^n-1} dp[n][mask][K]$,其中$K$是總共要放的國王。

二進制表示簡化判斷

1、判斷$mask$有兩個相鄰的$1$: $(mask\&(mask>>1))>0$;
2、判斷相鄰行的$mask1$和$mask2$互相不能攻擊到：
$(mask1\&((mask2>>1)|mask2|(mask2<<1)))>0.$

代碼

感謝hyy提供的代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,m;
long long dp[10][1<<10][100];

int main(){
    cin >> n >> m;
    dp[0][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int mask=0;mask<(1<<n);mask++){
            int num=0;
            for(int j=0;j<n;j++){
                if(mask&(1<<j))
                    num++;
            }
            bool flag0=(m>=num)&&((mask&(mask<<1))==0);
            if(flag0){
                
                for(int j=num;j<=m;j++){

                    for(int k=0;k<(1<<n);k++){
                        int num1=0;
                        for(int l=0;l<n;l++){
                            if(k&(1<<l))
                                num1++;
                        }
                        bool flag1=((k&(k<<1))==0)&&(num1+num<=j)&&((mask&k)==0)&&((mask&(k<<1))==0)&&((mask&(k>>1))==0);
                        if(flag1){
                            dp[i][mask][j]+=dp[i-1][k][j-num];
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    long long ans=0;

    for(int i=0;i<(1<<n);i++){
        ans+=dp[n][i][m];
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

狀態壓縮DP總結

一般來說，看到數據範圍比較小（$n\leq 15$），暴力搜索又不能過的時候，可以思考使用狀態壓縮；這是狀態壓縮的優點，同時也是它的缺點，只適用於數據範圍比較小的時候。

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狀態壓縮題解，部分參考自https://oi-wiki.org/dp/state/