動態規劃【6】之分組揹包

例題：luogu1757 通天之分組揹包.

所謂分組揹包，就是將物品分組，每組的物品相互衝突，最多隻能選一個物品放進去¹。相對於0/1揹包增加了分組。

本文將介紹類似0/1揹包的方式。回顧0/1揹包的方式，$dp[i][j]$表示前$i$個物品中總重量不大於$j$的最大價值，轉移式是
$dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i]).$

分組揹包中，依然用$dp[i][j]$（此處的$i$意義變化了），i表示前i組揹包，一組揹包中可能有很多個互斥物品。轉移式是
$dp[zs[i]][j] = max(dp[zs[i]][j], max(dp[zs[i]-1][j], dp[zs[i]-1][j-w[i]]+v[i])),$其中zs[i]表示第i個物品所在的組。
有以下注意點：

• 第$i$組可能包括很多個互斥物品，因此$dp[zs[i]][j]$可能被多次用到，需要取max。
• 轉移的時候要按順序轉移，把第$i$組（包括很多個互斥物品）處理完了以後再處理第$i+1$組。

代碼如下：

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Author        : VFVrPQ
Created Time  : 六  2/29 18:57:01 2020
File Name     : luogu1757通天之分組揹包.cpp
Problem       : 
Description   : 
Solution      : 
Tag           : 
************************************************ */

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <set>
#include <map>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define DEBUG(x) cout<<x<<endl;
const int N = 1e5+10;
const int M = 1e9+7;
const int INF = 1e9+7;

int n, m;
struct Node{
    int a,b,c;
};
Node p[N];

bool cmp(Node i, Node j){
    return i.c<j.c;
}

int dp[N][1111];//dp[i][j]表示前i組，最大重量是j時的最大價值（注意是前i組！）

int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&p[i].a,&p[i].b,&p[i].c);
    }
    sort(p+1, p+n+1, cmp);//按組號排序

    for (int i=1;i<=n;i++){
        for (int j=0;j<=m;j++){
            int zs = p[i].c;//組數
            //因爲可能不同的物品屬於同一組，所以dp[zs][j]會被不同的物品多次更新，需要取max
            if (j<p[i].a) dp[zs][j] = max(dp[zs][j], dp[zs-1][j]);//從前一組轉移過來
            else {
                dp[zs][j] = max(dp[zs][j], max(dp[zs-1][j], dp[zs-1][j-p[i].a]+p[i].b));
            }
        }
    }
    int max_zs = p[n].c;
    printf("%d\n", dp[max_zs][m]);
    return 0;
}

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1. https://oi-wiki.org/dp/knapsack/#_7 ↩︎