AI筆記: 數學基礎之集合與函數

數學與AI概述

人工智能是70%數學+30%代碼，很多算法都是基於數學的，學好數理化，走遍天下都不怕

集合

1 ） 概念

• 由一個或多個確定的元素所構成的整體叫做集合。
• 若x是集合A的元素，則記作x∈A。集合是指具有某種特定性質的具體的或抽象的對象彙總成的集體，這些對象稱爲該集合的元素。
• 用大寫字母表示集合，小寫字母表示集合中的元素。
• 若x是集合S的元素，則稱x屬於S，記爲x∈S。若y不是集合S的元素，則稱y不屬於S，記爲y∉S。
• 一般的我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含無限個元素的集合叫做無限集。
• 集合的表示方法：列舉法、描述法、符合法
• 如果集合A中含有n個元素，則集合A有2的n次方個子集，2的n次方-1個真子集，參考排列：$C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n$
• 無理數，也稱爲無限不循環小數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會循環。 常見的無理數有非完全平方數的平方根、π和e（其中後兩者均爲超越數）等

2 ) 特徵

• 確定性（集合中的元素必須是確定的）。
• 互異性（集合中的元素互不相同）。例如：集合A={1，a}，則a不能等於1）。
• 無序性（集合中的元素沒有先後之分），如集合{3,4,5}和{3,5,4}算作同一個集合。

3 ) python代碼演示

list1 = [2,5, 99, 5, 2]
print(list1) # [2, 5, 99, 5, 2]
print(set(list1)) # {2, 5, 99}

4 ） 集合的分類

空集

• 有一類特殊的集合，它不包含任何元素，如$\{x|x∈R \ \ \ x^2+1=0\}$ ，我們稱之爲空集，記爲∅
• 空集是個特殊的集合，它有2個特點：
  • 空集∅是任意一個非空集合的真子集。
  • 空集是任何一個集合的子集。
  • 空集是空集的子集。

非空集

• 非負整數集合或自然數集合{0,1,2,3,…}, 記爲 N
• 正整數集合{1,2,3,…}, 記爲 N*或N+
• 整數集合{…,-1,0,1,…}, 記爲 Z
• 有理數集合, 記爲 Q
• 正有理數集合, 記爲 Q+
• 負有理數集合, 記爲 Q-
• 實數集合(包括有理數和無理數）, 記爲 R
• 正實數集合, 記爲 R+
• 負實數集合, 記爲 R-
• 複數集合, 記爲 C

5 ) 集合間的基本運算

• 並集：由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，記作A∪B（或B∪A），讀作“A並B”（或“B並A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。並集越並越多。

• 交集：由屬於A且屬於B的相同元素組成的集合，記作A∩B（或B∩A），讀作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。交集越交越少。若A包含B(B包含於A)，則A∩B=B，A∪B=A

• 補集

  • 相對補集：由屬於A而不屬於B的元素組成的集合，稱爲B關於A的相對補集，記作A-B或A\B，即A-B={x|x∈A，且x∉B}
  • 絕對補集：A關於全集合U的相對補集稱作A的絕對補集，記作A’或CuA或~A。有U’ = ∅； ∅’=U

函數

1 ） 概念

設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關係f，使得對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那麼就稱映射f:A–>B爲從集合A到集合B的一個函數，記作y = f(x) x∈A

其中x叫自變量，y叫做x的函數，集合A是函數的定義域，集合B是值域，f叫做對應法則

其中定義域、值域、對應法則是函數的三要素

2 ) 函數的三種表示方法

解析法 圖像法 列表法

3 ) 函數的特性

• 有界性

  • 設函數f(x)在區間X上有定義，如果存在M > 0，對於一切屬於區間X上的x，恆有 | f(x) | ≤ M，則稱f(x), 在區間X上有界，否則稱f(x)在區間上無界

• 單調性

  • 設函數f(x)的定義域爲D，區間I包含於D。如果對於區間上任意兩點x1及x2，當x1 < x2時，恆有f(x1) < f(x2)，則稱函數f(x)
  • 在區間I上是單調遞增的；如果對於區間I上任意兩點x1及x2，當x1 < x2時，恆有f(x1) > f(x2)，則稱函數f(x)
  • 在區間I上是單調遞減的。單調遞增和單調遞減的函數統稱爲單調函數

• 奇偶性

  • 設f(x)爲一個實變量實值函數，若有f(-x) = - f(x)，則f(x)爲奇函數, 關於原點對稱。
  • 幾何上，一個奇函數關於原點對稱，亦即其圖像在繞原點做180度旋轉後不會改變。
  • 設f(x)爲一實變量實值函數，若有f(-x) = f(x)，則f(x)爲偶函數, 關於y軸對稱。
  • 幾何上，一個偶函數關於y軸對稱，亦即其圖在對y軸映射後不會改變。

4 ) 函數的導數

• 如果函數f(x)在(a,b)中每一點處都可導，則稱f(x)在(a,b)上可導，則可建立f(x)的導函數，簡稱導數，記爲f’(x)
• 函數y=f(x)在點x1處的導數的幾何意義：
  • 函數y=f(x)在點x1處的導數是曲線y=f(x)在P(x1, f(x1))處的切線的斜率f’(x1)
  • 相應的切線方程是 y-y1 = f’(x1)(x - x1)

5 ) 複合函數(函數的嵌套)

y = f(t)
t = g(x)
y = f(g(x))

6 ) 常函數

y = C

C是常數

常函數是一條平行於x軸的直線

7 ) 一次函數

y = kx + b

k爲一次項係數
b爲常數

一次函數是一條直線

8 ) 二次函數

$y = ax^2 + bx + c$

a!=0

頂點座標 $(-(b/2a), (4ac-b^2)/4a)$

開口方向由a來決定

拋物線與x軸的交點判斷：$\Delta = b^2 - 4ac$

二次函數是拋物線，但拋物線不一定是二次函數。開口向上或者向下的拋物線纔是二次函數。拋物線是軸對稱圖形。對稱軸爲直線x = -b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點爲拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

使用python來畫一條二次拋物線

import matplotlib as mpl 
import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np 

x = np.linspace(-10, 10, 30)
y = x**2 + 3*x + 2

plt.plot(x,y)
plt.plot(0,0, marker='o')
plt.plot((0,3 ), (0, 3), linestyle='--')
plt.show()

結果如圖

備註：圖片託管於github，請確保網絡的可訪問性