AI筆記: 數學基礎之泰勒Taylor公式的變形和應用

泰勒公式的變形

• 我們知道泰勒公式是這樣的：$f(x) = \frac{f(x_0)}{0!} + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \frac{f^{(n)(x_0)}}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)$
• 可以變形爲：$f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + a_3(x-x_0)^3 + R_n(x)$, 其中 $a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$
  • 根據上式有：
  • $f'(x) = a_1 + 2a_2(x-x_0) + 3a_3(x-x_0)^2 + ...$
  • $f''(x) = 2a_2 + 6a_3(x-x_0) + ...$
  • $f'''(x) = 6a_3 + ...$
  • …
  • 將$x_0$帶入之後，直接約去了x, 有：
  • $f'(x_0) = a_1 \Rightarrow a_1 = \frac{f'(x_0)}{1!}$
  • $f''(x_0) = 2a_2 \Rightarrow a_2 = \frac{f''(x_0)}{2!}$
  • $f'''(x_0) = 6a_3 \Rightarrow a_3 = \frac{f'''(x_0)}{3!}$
  • …

泰勒公式的應用

1 ） 麥克勞林公式

• $e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + ... + \frac{1}{n!}x^n + o(x^n)$
  • 這裏$e^x$的n階導數都是它本身, 無懼降維打擊
  • 其次，$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \ \ x \in R$
  • 進行泰勒展開就有上式
• $sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + ... + \frac{(-1)^{m-1}}{(2m - 1)!} x^{2m -1} + o(x^{2m -1})$
  • $f(x) = sin x, x_0 = 0$
  • $sin'x=cosx、sin''x=-sinx、sin'''x=-cosx、sin^{(4)}x = sinx、sin^{(5)}x = cosx、sin^{(6)}x = -sin x、...$
  • $sinx=0+\frac{1}{1!}x + \frac{0}{2!} + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!} + \frac{1}{5!}x^5 + \frac{0}{6!} + \frac{-1}{7!}x^7 + ...$
  • 由此推出上式
  • 另外：可以將它的n階導數看成這樣：$f^{(n)}(x) = sin (x+\frac{n\pi}{2})$
• $cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - ... + \frac{(-1)^m}{(2m)!}x^{2m} + o(x^{2m})$
  • 同理$sin x$
• $ln(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - ... + \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n + o(x^n)$
  • 這裏是複合函數求導
  • $f(x) = ln(1+x)$
  • $f'(x) = \frac{1}{1+x}, f''(x), f'''(x), ....$
  • 同理推出上式
• $\frac{1}{1 - X} = 1 + x + x^2 + ... + x^n + o(x^n)$
• $(1+x)^m = 1 + mx + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + ... + \frac{m(m-1)...(m-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)$

另外：關於$sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 + ... + \frac{(-1)^{m-1}}{(2m - 1)!} x^{2m -1} + o(x^{2m -1})$的推導，參考下圖，可見n越大，誤差越小

備註：圖片託管於github，請確保網絡的可訪問性

2 ） 計算自然常數e的近似值

• 計算近似值$e = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$，並估計誤差值
• 分析
  • $y = e^x \Rightarrow y' = y = e^x$
  • $e^x \approx \sum_{k=0}^n \frac{e^{x_0}}{k!} (x - x_0)^k$ 令 $x_0 = 0 \Rightarrow$
  • $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^n}{n!}$ 令 $x = 1 \Rightarrow$
  • $e \approx 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... + \frac{1}{n!}$ 令 $x = 10 \Rightarrow$
  • $e \approx 2.7182815$
  • 餘項(誤差)：$\delta = |R_{10}| = \frac{1}{11!} + \frac{1}{12!} + ... = \frac{1}{11!}(1 + \frac{1}{12} + \frac{1}{12 * 13} + ...) < \frac{1}{11!} (1 + \frac{1}{12} + \frac{1}{12^2} + ...) = \frac{12}{11*11!} = 2.73 * 10^{-8}$ 微乎其微了
  • 當n逐漸變大時，參考下圖

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