AI筆記: 數學基礎之二項分佈與二項式定理

概率試驗

• 1.投擲一個骰子投擲5次
• 2.某人射擊1次，擊中目標的概率是0.8, 他射擊10次；
• 3.一個盒子中裝有5個球(3紅2白)，有放回依次從中抽取5個球
• 4.生產一種零件，出現次品的概率是0.04，生產這種零件4件

以上這些的特點都是：

• 條件相同
• 獨立重複性試驗
• 發生或者不發生
• 發生的概率相同

例子

投擲一枚圖釘，設針尖向上的概率爲p, 則針尖向下的概率爲q = 1 - p. 連續投擲一枚圖釘3次，僅出現1次針尖向上的概率是多少？

分析：這是一個條件相同，獨立重複性試驗：$P = C_3^1 p q^2 = 3 p q^2$

擴展：如果連續投3次圖釘，出現k(0 <= k <= 3)次針尖向上的概率是多少?

• 出現0次：$P(B_0) = P(\bar{A_1} \bar{A_2} \bar{A_3}) = q^3$
• 出現1次：$P(B_1) = P(A_1\bar{A_2}\bar{A_3}) + P(\bar{A_1}A_2\bar{A_3}) + P(\bar{A_1}\bar{A_2}A_3) = 3q^2p$
• 出現2次：$P(B_2) = P(A_1A_2\bar{A_3}) + P(\bar{A_1}A_2A_3) + P(A_1\bar{A_2}A_3) = 3qp^2$
• 出現3次：$P(A_1A_2A_3) = p^3$
• 總結：$P(B_k) = C_3^kp^kq^{3-k}, k=0,1,2,3$

伯努利分佈

• 伯努利分佈(Bernoulli distribution) 又名兩點分佈或0-1分佈，介紹伯努利分佈前首先需要引入伯努利試驗(Bernoulli trial)
• 伯努利試驗是隻有兩種可能結果的單次隨機試驗，即對於一個隨機變量X而言：伯努利試驗都可以表達爲"是或否"的問題
• 例如：拋一次硬幣是正面朝上嗎？剛出生的孩子是男孩嗎?等
• 如果試驗E是一個伯努利試驗，將E獨立重複進行n次，則稱這一串重複的獨立試驗爲n重伯努利試驗
• 進行一次伯努利試驗，成功(X=1)概率爲p(0 <= p <= 1), 失敗(X=0)概率爲1-p，則稱隨機變量X服從伯努利分佈，伯努利分佈是離散型概率分佈

二項分佈

• 在n次獨立重複試驗中，設事件A發生的次數是X, 且在每次試驗中事件A發生的概率是p, 那麼事件A恰好發生k次的概率是 $P(X=k) = C_n^kp^k(1-p)^{n-k}, k = 0, 1, 2, ..., n$
• 於是得到隨機變量X的概率分佈如下：q = 1 - p
  • X: 0, 1, …, k, …, n
  • p: $C_n^0p^0q^n, C_n^1p^1q^{n-1}, ..., C_n^kp^kq^{n-k}, ..., C_n^np^nq^0$
  • 此時我們稱隨機變量X服從二項分佈，記爲：$X \sim B(n,p)$ 其中p爲成功概率
  • $\sum_{k=0}^n C_n^kp^k(1-p)^{n-k} = 1$ 全概率 求和是必然事件，概率爲1

案例1

• 某射手每次射擊擊中目標的概率是0.8， 求這名射手在10次射擊中
• (1) 恰好有8次擊中目標的概率
• (2) 至少有8次擊中目標的概率

分析：

• (0) $p=0.8, 1 - p = 0.2, n = 10$
• (1) $C_10^8p^8(1-p)^2$
• (2) $p(8)+p(9)+p(10) = C_{10}^8p^8(1-p)^2 + C_{10}^9p^9(1-p) + C_{10}^{10}p^{10}$
• 將(0)帶入(1)、(2) 得到最終的解

案例2

• 設一個射手平均每設計10次中靶4次，求在5次射擊中
• (1)擊中1次
• (2)第二次擊中
• (3)擊中兩次
• (4)第二、三兩次擊中
• (5)至少擊中一次
• 求以上的概率

分析：

• 由題意：射手射擊1次，中靶的概率是0.4
• (1) n=5, k=1, 則 $P(X = 1) = C_5^1p(1-p)^4$
• (2) 第二次擊中和其他幾次擊中沒有任何關係，也就是他一次擊中的概率即爲0.4
• (3) n=5, k=2, 則 $P(X = 2) = C_5^2p(1-p)^3$
• (4) 只和第2,3次有關和其他無關,則概率爲0.4*0.4
• (5) 有兩種方法，正面求解相加，也可以從反面來推，推薦從反面求解，【1 - 沒有擊中一次的概率】: $1 - C_5^0p^0(1-p)^5$

二項式定理

• 二項展開公式 $(a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2 + ... + C_n^ra^{n-r}b^r + ... + C_n^nb^n \ \ (n \in N_+)$

• 二項展開式的通項公式：$T_{r+1} = C_n^ra^{n-r}b^r \ \ \ \ (0 \leq r \leq n , r \in N, n \in N_+)$, 主要用來求指定的項

• 項的係數與二項式係數

  • 項的係數與二項式係數是不同的兩個概念，但當二項式的兩個項的係數都爲1時，係數就是二項式係數，如
  • 在$(ax+b)^n$的展開式中，第r+1項的二項式係數爲$C_n^r$
  • 第r+1項的係數爲$C_n^ra^{n-r}b^r$
  • 而$(x+\frac{1}{x})^n$的展開式中的係數等於二項式係數
  • 二項式係數是組合數，一定爲正的；而項的係數不一定爲正的

• $(1+x)^n$的展開式：$(1+x)^n = C_n^0x^n + C_n^1x^{n-1} + C_n^2x^{n-2} + ... + C_n^nx^0$

  • 若令x=1, 則有：$(1+1)^n = 2^n = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2+ ... + C_n^n$
  • 二項式奇數項係數的和等於二項式偶數項係數的和.
  • 即：$C_n^0 + C_n^2 + ... = C_n^1 + C_n^3 + ... = 2^{n-1}$

• 二項式係數的性質

  • 對稱性： 與首末兩端"等距離"的兩個二項式係數相等，即$C_n^m = C_n^{n-m}$
  • 增減性與最大值：
    • 當$r \leq \frac{n+1}{2}$時，二項式係數$C_n^r$的值逐漸增大，當$r \geq \frac{n+1}{2}$時，$C_n^r$的值逐漸減少，且在中間取得最大值
    • 當n爲偶數時，中間一項(第$\frac{n}{2} + 1$項)的二項式係數$C_n^{\frac{n}{2}}$取得最大值
    • 當n爲奇數時，中間兩項(第$\frac{n+1}{2}$和第$\frac{n+1}{2} + 1$項)的二項式係數$C_n^{\frac{n-1}{2}} = C_n^{\frac{n+1}{2}}$相等並同時取最大值

• 係數最大項的求法

  • 設第r項的係數$A_r$最大，由不等式組$\left\{\begin{aligned}A_r \geq A_{r-1} \\A_r \geq A_{r+1}\end{aligned}\right.$可確定r

• 賦值法

  • 若$(ax+b)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n$, 則設$f(x) = (ax+b)^n$, 有
  • $a_0 = f(0)$
  • $a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_n = f(1)$
  • $a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + ... + (-1)^na_n = f(-1)$
  • $a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + ... = \frac{f(1) + f(-1)}{2}$
  • $a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + ... = \frac{f(1) - f(-1)}{2}$

從二項分佈到二項式定理

1） 二項式定理公式

• $(a+b)^n = C_n^0a^nb^0 + C_n^1a^{n-1}b^1 + ... + C_n^ra^{n-r}b^r + ... + C_n^nb^na^0 = \sum_{r=0}^n C_n^ra^{n-r}b^r$
• 寫成p,q的形式爲：$(p+q)^n = C_n^0p^nq^0 + C_n^1p^{n-1}q^1 + ... + C_n^rp^{n-r}q^r + ... + C_n^np^nq^0$

2 ) 二項分佈與二項式定理之間的聯繫

• 二項分佈對應二項式定理的每一項
• 二項分佈的概率求和是二項式定理的一個特殊情況，也就是 $p + q = 1$的情況

二項分佈與兩點分佈之間的關係

案例分析

• 籃球比賽，每次罰球命中得1分，不中得0分，某籃球運動員罰球命中率爲0.7，在某次比賽中他一共罰球20次，則
• (1) 他一次罰球的得分服從兩點分佈
• (2) 在這次比賽中，命中次數X服從二項分佈即 $X \sim B(20, 0.7)$

總結

• 兩點分佈：在一次試驗中，事件A出現的概率爲p，事件A不出現的概率爲q=1-p，若以X記一次試驗中A出現的次數，則X僅取0、1兩個值。兩點分佈就是0-1分佈, 是特殊的二項分佈, 只是不同的叫法，也是試驗次數爲1的伯努利試驗。$X \sim B(1,p)$
• 二項分佈：是重複n次獨立的伯努利試驗。在每次試驗中只有兩種可能的結果，而且兩種結果發生與否互相對立，並且相互獨立，與其它各次試驗結果無關，事件發生與否的概率在每一次獨立試驗中都保持不變, 是試驗次數爲n次的伯努利試驗。
• 兩點分佈是一種特殊的二項分佈，n=1, p=p

二項分佈與超幾何分佈之間的關係

案例分析

• 一個袋中放有M個紅球，(N - M)個白球，依次從袋中取n個球，記下紅球的個數X
• (1) 如果是有放回地取，則$X \sim B(n, \frac{M}{N})$
• (2) 如果是不放回地取，則X服從超幾何分佈 $P(X=k) = \frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} \ \ (k=0,1,2,...,m)$ 其中$m=min(M,n)$

超幾何分佈的推導

• 設有7個球，4紅，3白，連續取3個球(n=3), 則紅球的變量X爲：(k ~ 0,1,2,3)

• 分類討論：

  • X爲0：白白白 =》$P(X=0) = \frac{3}{7} * \frac{2}{6} * \frac{1}{5}$
  • X爲1：紅白白、白紅白、白白紅 =》$P(X=1) = \frac{4}{7} * \frac{3}{6} * \frac{2}{5} + \frac{3}{7} * \frac{4}{6} * \frac{2}{5} + \frac{3}{7} * \frac{2}{6} * \frac{4}{5}$
  • X爲2：類似上面，此處省略
  • X爲3：類似上面，此處省略

• 關於超幾何分佈 百度百科