二叉樹（1）——定義，性質及結構

一 

二叉樹定義：

滿足以下三個條件

1，根節點

2，去跟，分成兩個不相交的集合TL和TR

3，TL和TR也爲二叉樹（遞歸定義）

二

基本形態：

由三個節點構成的二叉樹的個數

三

性質：

1，第i層有2^(i-1)個節點

2，深度爲k的二叉樹，做多爲 2^(k)-1個節點

      k層二叉樹有2^(k)-1個節點，叫蠻二叉樹

3，度爲0的節點的個數爲n0

      度爲1的節點的個數爲n1

      度爲2的節點的個數爲n2

      則n0=n2+1

     推導過程：

     設節點總數爲n，分支數爲b

     則：

    n=n0+n1+n2

    b=n1+2n2

    b=n-1

4，假如一棵包含 n 個結點的二叉樹中每個結點都可以和滿二叉樹中編號爲1至 n 的結點一、一對應，則稱這類二叉樹爲完全二叉樹。

      n個節點的完全二叉樹，深度爲[log2 n]+1

5，完全二叉樹中，編號爲i的節點，左孩子編號爲2i，有孩子爲2i+1，雙親編號爲floor(i/2)

四

存儲結構

1，順序 先補成完全二叉樹

const MAXSIZE = 100; 　// 暫定二叉樹中結點數的最大值爲100
　　typedef struct {
　　　ElemType *data; 　　　// 存儲空間基址(初始化時分配空間)
　　　int nodeNum; 　　　　// 二叉樹中結點數
　　} SqBiTree; 　　　　　 // 二叉樹的順序存儲結構 

2，鏈式

二叉鏈表：

左孩子域和右孩子域

typedef struct BiTNode { 
　　　ElemType data; 
　　　struct BiTNode *Lchild, *Rchild; // 左、右孩子指針 
　　} *BiTree;

三叉鏈表：

typedef struct TriTNode {
　　　ElemType data;
　　　struct BiTNode *Lchild, *Rchild; // 左、右孩子指針
　　　struct BiTNode *parent;　　　　　// 雙親指針
　　} *TriTree;

雙親鏈表

const MAXSIZE = 100;　　　　　　　　// 暫定二叉樹中結點數的最大值爲100
　　typedef struct BPTNode {　　　　　　　　// 結點結構
　　　ElemType data;
　　　int *parent;　　　　　　　　　　　　　 // 指向雙親的指針 
　　　char LRTag;　　　　　　　　　　　　　　　// 左、右孩子標誌域
　　} BPTNode
　　typedef struct BPTree{　　　　　　　　　// 樹結構 
　　　BPTNode *nodes; 　　　　　　　　　　　　// 初始化時分配存儲空間
　　　int nodeNum; 　　　　　　　　　　　　　// 結點數目 
　　　int root;　　　　　　　　　　　　　　　// 根結點的位置
　　} BPTree
　　　cin>>BT.nodeNum;　　　　　　　　　　　 // 輸入結點數目
　　　BT.root=0;
　　　cin>> BT.nodes[0].data; 　　　　　　　　// 輸入根
　　　BT.nodes[0].parent = -1;　　　　　　　　// 根的雙親爲空
　　　BT.nodes[0].LRTag = 'L'; 
　　　for (i=1; i<BT.nodeNum; i++)
　　　{
　　　　cin>> BT.nodes[i].data >> F >>BT.nodes[i].LRtag;
　　　　k=i-1;
　　　　while (k>=0 && BT.nodes[k].data != F) k--; // 查詢雙親
　　　　if (k<0) return FALSE; 　　　　　　　// 沒有找到雙親
　　　　BT.nodes[i].parent = k;
　　　　return TRUE;
　　　}
　　}