AI筆記: 數學基礎之函數的導數應用及求導公式

關於導數

• 導數是數學中非常重要的概念，它能反應出速度變化的快慢，尤其在AI的算法分析，優化以及數據挖掘中用到很多

導數的引出

引例1

• 變速直線運動的速度
  • s是距離，t是時間，v是速度
  • 設描述指點運動的位置函數爲 $s = f(t)$
  • 則$t_0$到t的平均速度爲 $\overrightarrow{v} = \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}$
  • 而在$t_0$時刻的瞬時速度爲 $v = \lim_{t \to t_0} \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}$

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引例2

• 曲線的切線斜率
  • 曲線C: $y = f(x)$ 在M點處的切線MT，與x軸夾角是$\alpha$
  • MN是曲線C的一條割線，與x軸夾角是$\beta$
  • 割線MN的極限位置MT(當$\beta \to \alpha$時)
  • 切線MT的斜率 $k = tan \alpha = \lim_{\beta \to \alpha} tan \beta$
  • 割線MN的斜率 $tan \phi = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ 如圖虛線所示的比
  • $k = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
  • 可見增量比的極限就是曲線C在M點處的切線MT

導數的定義

• 設函數y=f(x)在點$x_0$的某臨域內有定義
• 設$\triangle y = f(x) - f(x_0)$
• 設$\delta x = x - x_0$
• 若$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\delta x \to 0} \frac{\delta y}{\delta x}$ 存在
• 則稱函數f(x)在點$x_0$處可導，並稱此極限爲y=f(x)在點$x_0$的導數
• 記爲：
  • $\mathop{{\left. y' \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}}$
  • $f'(x_0)$
  • $\mathop{{\left. \frac{dy}{dx} \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}}$
  • $\mathop{{\left. \frac{df(x)}{dx} \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}}$
  • 以上四種均可表示，即：$\mathop{{\left. y' \right| }}\nolimits_{{x=\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}}} = f'(x_0) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x} = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_0 + \triangle x) - f(x_0)}{\triangle x}$

導數公式

常數和基本初等函數的導數公式

僅供查閱

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基本求導法則

1 ） 函數的和、差、積、商的求導法則

• 設 $u = u(x), v = v(x)$ 都可導，則
  • (1) $(u \pm v)' = u' \pm v'$
  • (2) $(Cu)' = Cu'$ (C是常數)
  • (3) $(uv)' = u'v + uv'$
  • (4) $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ ($v \neq 0$)

2 ) 反函數的求導法則

• 如果函數$x=f(y)$在區間$I_y$內單調、可導且$f'(y) \neq 0$
• 則它的反函數$y=f^{-1}(x)$在區間$I_x = \{ x| x = f(y), y \in I_y \}$內也可導，且有
• $[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)}$ 或 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

3 ) 複合函數求導法則

• 設$y=f(u), u=\varphi (x)$, 則複合函數$y = f[\varphi (x)]$的導數爲
• $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} * \frac{du}{dx} = f'(u)*\varphi ' (x)$

例子1

• 求$y=2x^3 - 5x^2 + 3x - 7$的導數
  • $y' = 2*3*x^2 - 5*2*x + 3 + 0$
  • $y' = 6x^2 - 10x + 3$

例子2

• 已知$f(x) = x^3 + 4cosx - sin \frac{\pi}{2}$, 求$f'(x) 、f'(\frac{\pi}{2})$
  • $f'(x) = 3*x^2 - 4*sin x - 0$
  • $f'(x) = 3x^2 - 4sinx$
  • $f'(\frac{\pi}{2}) = 3*(\frac{\pi}{2})^2 - 4*\frac{\pi}{2}$
  • $f'(\frac{\pi}{2}) = \frac{3}{4} \pi^2 - 4$

例子3

• 求$y=\sqrt{x} * ln x$的導數
  • $y' = (\sqrt{x}'ln x + \sqrt{x}(ln x)')$
  • $y' = \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{x}} * ln x + \sqrt{x} * \frac{1}{x}$
  • $y' = \frac{1}{\sqrt{x}} (\frac{ln x}{2} + 1)$

例子4

• 求$y=e^x(sin x + cos x)$的導數
  • $y' = (e^x)'(sin x + cos x) + e^x(sinx + cosx)'$
  • $y' = e^x(sin x + cos x) + e^x(cosx - sinx)$
  • $y' = e^x * 2 * cos x$
  • $y' = 2 e^x cos x$

高階導數

• 若函數y=f(x)的導數$y' = f'(x)$可導
• 則稱$f'(x)$的導數爲f(x)的二階導數
• 記爲 $y''$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$
• 即：$y'' = (y')'$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} * (\frac{dy}{dx})$
• 類似地，二階導數的導數稱爲三階導數，以此類推，n-1階導數的導數稱爲n階導數，分別記爲：
• $y', y'', y''', y^{(4)}, y^{(5)}, ..., y^{(n)}$ 或 $f'(x), f''(x), f'''(x), f^{(4)}(x), f^{(5)}(x), ..., f^{(n)}(x)$
• $y^{(n)} = \frac{d^ny}{dx^n}$
• 原函數可以稱爲0階導數
• 二階及其以上導數統稱爲高階導數