AI筆記: 數學基礎之函數的極限及自然常數e的由來

函數的極限

1 ）概述

• 自變量趨於有限值$x_0$時函數的極限
  • $x \to x_0$
  • $x \to x_0^+$
  • $x \to x_0^-$
• 自變量趨於無窮大時函數的極限
  • $x \to \infty$
  • $x \to +\infty$
  • $x \to -\infty$
• 以上是函數f(x)自變量變化過程的六種形式

2 ) 自變量 $x \to x_0$ 時函數的極限

• 如何刻畫 $x \to x_0$
  • $0 < |x - x_0| < \delta$
  • 即$x_0$的去心$\delta$鄰域，$\delta$是個較小的正數
• 如何刻畫對應函數值的變化
  • 要有對應函數值，就要先使函數在$x_0$的去心$\delta$鄰域內有定義
  • 而函數在$x_0$有無定義則無要求
• 如何刻畫對應的函數值無限接近於某個常數A
  • $\forall \varepsilon > 0, |f(x) - A| < \varepsilon, x \in \mathring{U}(x_0, \delta)$

3 ) 自變量 $x \to x_0$ 時函數的極限定義

• 設函數$f(x)$在點$x_0$的某一去心鄰域內有定義。
• 如果存在常數A，對任意給定的正數$\varepsilon$(無論它有多小)，總存在正數$\delta$, 使得當x滿足$0 < |x - x_0| < \delta$時，
• 對應的函數值都有|$f(x) - A| < \varepsilon$, 則稱A爲函數f(x)當$x \to x_0$時的極限，記爲：$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 或 $f(x) \to A(x \to x_0)$
• $\varepsilon - \delta$ 語言描述
  • (1)、$lim_{x \to x_0} f(x) = A$
  • (2)、$\forall \varepsilon > 0, \ \exists \ \delta > 0$, 當 $0 < |x - x_0| < \delta$ 時 $|f(x) - A| < \varepsilon$
  • (1) $\Leftrightarrow$ (2)
• 幾何解釋

備註：圖片託管於github，請確保網絡的可訪問性

例證

• 證明：$\lim_{x \to 1} \frac{2(x^2 - 1)}{x - 1} = 4$

• 分析：

  • $|f(x) - A| = |\frac{2(x^2 - 1)}{x - 1} - 4| = |2(x+1) - 4| = 2|x - 1| < \varepsilon$
  • $\forall \varepsilon > 0$, 取 $\varepsilon = \frac{\varepsilon}{2}$
  • 當 $0 < |x - 1| < \delta$ 時，必有 $|\frac{2(x^2 - 1)}{x - 1} - 4| < \varepsilon$
  • 因此 $\lim_{x \to 1} \frac{2(x^2 - 1)}{x - 1} = 4$

• 左極限與右極限(單側極限)

  • 左極限
    • (1) $\lim_{x \to x_0} f(x) = A = :f(x_0^-)$
    • (2) $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0$, 當 $x \in (x_0 - \delta, x_0)$時，$|f(x) - A| < \varepsilon$
    • (1) $\Leftrightarrow$ (2)
  • 右極限
    • (1) $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A = :f(x_0^+)$
    • (2) $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0$, 當 $x \in (x_0, x_0 + \delta)$時，$|f(x) - A| < \varepsilon$
    • (1) $\Leftrightarrow$ (2)
  • 可見
    • (1) $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$
    • (2) $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = A$
    • (1) $\Leftrightarrow$ (2)

例證

• 試證函數$f(x) = \begin{cases} e^x, \ \ \ x < 1\\ 0, \ \ \ x = 1\\ x + 1, \ \ \ x > 1 \end{cases}$, 當 $x \to 1$時, 極限不存在
  • 從下圖可見
  • $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^- e^x = e}$
  • $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+ (x + 1) = 2}$
  • 顯然 $e \neq 2$, 從而 $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$
  • 故函數f(x)當 $x \to 1$ 時極限不存在

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4 ) 自變量 $x \to \infty$ 時函數的極限

• 如何刻畫$x \to \infty$?
  • $|x| > X$, 其中X是個較大的數
• 如何刻畫對應函數值f(x)的變化?
  • 要有對應函數值，首先要使函數在$|x| > X$內有定義
• 如何刻畫對應的函數值f(x)無限接近於某個常數A?
  • $\forall \varepsilon > 0$, 當 $|x| > X$時，$|f(x) - A| < \varepsilon$

5 ) 自變量 $x \to \infty$ 時函數的極限定義

• 設函數f(x)在當|x|大於某一正數時有定義，如果存在常數A，對任意給定的正數$\varepsilon$(無論它有多小)，總存在正數X,
• 使得當x滿足$|x| > X$時，對應的函數值都有$|f(x) - A| < \varepsilon$, 則稱A爲函數f(x)當$x \to \infty$時的極限
• 記爲：$\lim_{x \to \infty} f(x) = A$ 或 $f(x) \to A(x \to \infty)$
• 左極限與右極限 (單側極限)
  • $\lim_{x \to -\infty} f(x) = A \Leftrightarrow \exists \varepsilon > 0, \exists X > 0$, 當 $x < -X$時，$|f(x) - A| < \varepsilon$
  • $\lim_{x \to +\infty} f(x) = A \Leftrightarrow \exists \varepsilon > 0, \exists X > 0$, 當 $x > X$時，$|f(x) - A| < \varepsilon$
• $\varepsilon \to \infty$ 語言描述
  • (1) $\lim_{x \to \infty} f(x) = A$
  • (2) $\forall \varepsilon > 0$, 當 $\exists X > 0$, 當 $|x| > X$時，$|f(x) - A| < \varepsilon$
  • (1) $\Leftrightarrow$ (2)
• 幾何解釋

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例證

• 證明： $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$
• 分析：
  • 欲使$|\frac{1}{x} - 0| = \frac{1}{|x|} < \varepsilon$ 即：$|x| > \frac{1}{\varepsilon}$
  • $\forall \varepsilon > 0$, 取 $X = \frac{1}{\varepsilon}$, 則當 $|x| > X$ 時，就有 $|\frac{1}{x} - 0| < \varepsilon$
  • 因此 $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$
  • 由下圖可見， y=0 爲 $y = \frac{1}{x}$的水平漸近線

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函數極限的性質

定理1 函數極限唯一性

• 如果 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，則此極限唯一

定理2 函數極限的局部有界性

• 若$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$, 則存在常數 $M > 0$ 和 $\delta > 0$，使得當 $0 < |x - x_0| < \delta$ 時，有 $|f(x)| \leq M$
• 證明
  • 因 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$, 則 $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$
  • 使得當$0 < |x - x_0| < \delta$時，$|f(x) - A| < \varepsilon$.
  • 特別地取 $\varepsilon = 1$, 則 $|f(x)| = |f(x) - A + A| \leq 1 + |A|$
  • 取 $M = 1 + |A|$ 即可

定理3 函數極限的局部保號性

• 如果$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$, 而且 A > 0 (A < 0), 那麼存在常數 $\delta > 0$，使得當 $0 < |x - x_0| < \delta$時，有 $f(x) > 0 (f(x) < 0)$
• 證明：
  • 只證 A < 0 的情況
  • 因爲 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A < 0$
  • 取 $\varepsilon = - \frac{A}{2}$, 則 $\exists \delta > 0$, 當 $0 < |x - x_0| < \delta$ 時
  • 有 $|f(x) - A| < -\frac{A}{2}$, 即 $f(x) < A - \frac{A}{2}$
  • 從而 $f(x) < \frac{A}{2} < 0$

兩個重要極限

1 ） 第一個重要極限

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• 證明：
  • 當 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ 時，$\triangle AOB$的面積 < 圓扇形AOB的面積 < $\triangle AOD$的面積
  • 即 $\frac{1}{2} * 1 * 1 * sin x < \frac{x}{2\pi} * \pi * 1^2 < \frac{1}{2} * 1 * tan x$
  • 即 $sin x < x < tan x \ \ \ (0 < x < \frac{\pi}{2})$, 從而 $1 < \frac{x}{sin x} < \frac{1}{cos x}$
  • 顯然有 $cosx < \frac{sinx}{x} < 1 \ \ (0 < |x| < \frac{\pi}{2})$
  • 又 $\lim_{x \to 0} cos x = 1$, 故 $\lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x} = 1$

1 ） 第二個重要極限

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$

e = 2.718281828459045…

• 證明思路：

  • 1.首先證明數列$\{x_n\}$是單調有界數列，從而極限存在，其中 $x_n = (1+\frac{1}{n})^n$
  • 2.其次利用兩邊夾準則證明 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$
  • 3.再用變量代換法證明 $\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$
  • 4.聯合上面兩個結論可得：$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$

• 證明：

  • 先證數列$\{x_n\}$收斂，其中$x = (1 + \frac{1}{n})^n$
    • 第一步，證明數列$\{x_n\}$是單調增加的
      • $x_n = (1 + \frac{1}{n})^n = C_n^0(\frac{1}{n})^0 + C_n^1(\frac{1}{n})^1 + C_n^2(\frac{1}{n})^2 + ... + C_n^n(\frac{1}{n})^n$
      • $= 1 + \frac{n}{1!}*\frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2!}*\frac{1}{n^2} + \frac{n(n-1)(n-1)}{3!}*\frac{1}{n^3} + ... + \frac{n(n-1)(n-2)*...*2*1}{n!}*\frac{1}{n^n}$
      • $= 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3!}(1 - \frac{1}{n})(1 - \frac{2}{n}) + ... + \frac{1}{n!}(1 - \frac{1}{n})(1 - \frac{2}{n})*...*(1 - \frac{n-1}{n})$
      • 同理，$x_{n+1} = 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1 - \frac{1}{n+1}) + \frac{1}{3!}(1 - \frac{1}{n+1})(1 - \frac{2}{n + 1}) + ... + \frac{1}{n!}(1 - \frac{1}{n+1})(1 - \frac{2}{n+1})*...*(1 - \frac{n-1}{n+1}) + \frac{1}{(n+1)!}(1 - \frac{1}{n+1})(1 - \frac{2}{n+1})*...*(1- \frac{n}{n+1})$
      • 可見, $x_{n+1} > x_n, \ \ \forall n \in N^+$
    • 第二步，證明數列$\{x_n\}$是有界的
      • $x_n = 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{3!}(1 - \frac{1}{n})(1 - \frac{2}{n}) + ... + \frac{1}{n!}(1 - \frac{1}{n})(1 - \frac{2}{n})*...*(1 - \frac{n-1}{n})$
      • 從而，$x_n < 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... + \frac{1}{n!}$
      • $< 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^{n-1}}$
      • $= 1 + \frac{1*(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}}$
      • $= 1 + 2(1 - (\frac{1}{2})^n) < 3$
      • 其中我們用了不等式 $2^{n-1} \leq n!$ (數學歸納法)
      • 於是，由單調增加和有界性知數列$\{x_n\}$極限存在，記爲 $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$
      • 上面暫且記爲字母e，這裏的e滿足 $1 < e < 3$
    • 第三步，證明函數極限$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$
      • 一方面，當x > 1時，設 $n \leq x < n+1$
      • 則 $(1 + \frac{1}{n+1})^n < (1 + \frac{1}{x})^x < (1 + \frac{1}{n})^{n+1}$
      • $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n+1})^n = \lim_{n \to \infty} \frac{(1 + \frac{1}{n+1})^{n+1}}{1 + \frac{1}{n+1}} = e$
      • $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n+1} = \lim_{n \to \infty} [(1 + \frac{1}{n})^n(1 + \frac{1}{n})] = e$
      • $\Rightarrow \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ (因$n \to +\infty$時， $x \to +\infty$)
      • 另一方面，當 $x \to -\infty$時，
      • 令$x = -(t+1)$, 則$t \to +\infty$, 從而有
      • $\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = \lim_{t \to +\infty} (1 - \frac{1}{t + 1})^{-(t+1)}$
      • $= \lim_{t \to +\infty} (\frac{t}{t+1})^{-(t+1)} = \lim_{t \to +\infty} (1+\frac{1}{t})^{t+1}$
      • $= \lim_{t \to +\infty} [(1+\frac{1}{t})^t(1 + \frac{1}{t})] = e$
      • 故：$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ (因 $\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = \lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$)

自然常數e

• 假設某種類的單細胞生物每24小時分裂一次，在不考慮死亡與編譯的情況下，那麼很顯然這羣單細胞生物的總數量每天會增加一倍，也就是增長率爲：
  • $growth = (1 + 100\%) = 2$
• 假設這種細胞沒過12小時，平均會產生一般的原數量的新細胞，而且新細胞在之後的12小時已經存在分裂了，那麼增長率爲：
  • $growth = (1 + \frac{100\%}{2})^2 = 2.25$
• 假設每過8小時分裂一次，那麼增長率爲：
  • $growth = (1 + \frac{100\%}{3})^3 = 2.37037...$
• 實際上，細胞的分裂是不間斷的、連續的產生新細胞，而且每個新細胞都會立即和母體細胞一起進行分裂操作，那麼一天24小時的分裂增長率爲
  • $growth = (1 + \frac{100\%}{n})^n = 2.71828...$
• 因此，將改值稱爲e, 表示單位時間內，持續翻倍增長所能達到的極限值，公式爲
  • $e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$

兩個很重要的極限

• $\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$
• 以上兩個極限的變式如下圖，方框中的框可以是任意表達式

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案例1

• 求$\lim_{x \to 0} \frac{sin 2x}{x}$
• 分析：
  • 由 $\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$
  • 推出：$\lim_{x \to 0} \frac{sin 2x}{2x} = 1$ (①式)
  • 有題目變形：$\lim_{x \to 0} \frac{2*sin 2x}{2x}$ (②式)
  • 綜合①、②推出：$\lim_{2x \to 0} \frac{2*sin 2x}{2x} = 2 * \lim_{2x \to 0} \frac{sin 2x}{2x} = 2 * 1 = 2$
  • 還有另一種方式是化簡 $sin 2x = 2 * sin x cos x$ ，當$x \to 0, cos x \to 1$, 同解！

案例2

• 求$\lim_{x \to 0} \frac{tan x}{x}$
• 分析：
  • 切割化弦：$tan x = \frac{sin x}{cos x}$
  • $\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x cos x}$
  • 當 $x \to 0$ 時, $cos x \to 1$
  • 最終，同 $\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$
  • 結果爲1

案例3

• 求$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{2x})^x$
• 分析：
  • 當 $x \to \infty$ 時，$2x \to \infty$
  • $\lim_{2x \to \infty} ((1 + \frac{1}{2x})^{2x})^{\frac{1}{2}}$
  • 由$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$知
  • 最終結果爲 $e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

案例4

• 求$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x$
• 分析：
  • $\lim_{x \to \infty} ((1 + \frac{1}{-x})^{-x})^{-1}$
  • 當 $x \to \infty$ 時，$-x \to \infty$
  • 化簡爲：$\lim_{-x \to \infty} ((1 + \frac{1}{-x})^{-x})^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}$