AI筆記: 數學基礎之導數的應用：單調性、凸凹性、極值

導數應用之函數單調性

• 通過函數的導數的值，可以判斷出函數的單調性、駐點、極值點
  • 若導數>0,則單調遞增
  • 若導數<0,則單調遞減
  • 若導數=0,則該點爲函數的駐點
• 如果函數的導函數在某一個區間內恆大於零(或恆小於零),那麼函數在這一區間內單調遞增(或單調遞減),這一區間就稱爲單調區間
• 函數的駐點和不可導點函數有可能取得極大值或極小值(極值可疑點)
• 對於極值點的判斷需要判斷駐點附近的導函數的值符號，如果存在使得之前區間上導函數值都大於零，而之後的區間上都小於零，那麼這個點就是一個極大值點，反之則是一個極小值點

導數應用之曲線的凹凸性

• 設函數f(x)在區間I上連續，$\forall x_1, x_2 \in I$,
• (1)若恆有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$,則稱f(x)的圖形是凹的
• (2)若恆有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$,則稱f(x)的圖形是凸的
• (3)連續曲線上的凹弧與凸弧的分界點稱爲曲線的拐點(在這一點上二階導數不存在或異號(由正變負或由負變正))

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定理(凹凸判定法)

• 設函數f(x)在區間I上有二階導數
• (1) 在I內$f''(x) > 0$, 則f(x)在I內圖像是凹的
• (2) 在I內$f''(x) < 0$, 則f(x)在I內圖像是凸的

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導數應用之函數的極值與最值

1 ） 函數的極值及其求法

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• 極大值：設函數f(x)在$x_0$的某個鄰域U$(x_0, \delta)$有定義，且當$x \in \mathring{U}(x_0, \delta)$時, 恆有$f(x) < f(x_0)$,則稱$f(x_0)$爲f(x)的一個極大值
• 極小值：如果當$x \in \mathring{U}(x_0, \delta)$時，恆有$f(x) > f(x_0)$, 則稱$f(x_0)$爲f(x)的一個極小值
• 極值：是局部區間的概念，函數的極大值與極小值統稱爲極值，使函數取得極值的點稱爲極值點
• 最值：是全局區間的概念
• 若f(x)在極值點$x_0$處可導, 則$f'(x_0) = 0$導數等於零的點稱爲駐點
• 對可導函數來講，極值點必爲駐點，駐點不一定是極值點，如下圖原點是駐點，但不是極值點

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極值存在的第一充分條件

• 設函數f(x)在$x_0$處連續，且在$x_0$的某去心鄰域$x \in \mathring{U}(x_0, \delta)$內可導
• (1)若當$x \in (x_0 - \delta, x_0)$時，$f'(x) > 0$, 若當$x \in (x_0, x_0 + \delta)$時, $f'(x) < 0$, 則f(x)在$x_0$處取得極大值
• (2)若當$x \in (x_0 - \delta, x_0)$時，$f'(x) < 0$, 若當$x \in (x_0, x_0 + \delta)$時, $f'(x) > 0$, 則f(x)在$x_0$處取得極小值
• (3)若當$x \in \mathring{U}(x_0, \delta)$時，$f'(x)$符號保持不變, 則f(x)在$x_0$處無極值

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例子1

• 函數$y=x^3$這個函數在(0,0)處是否爲極值點
  • 求一階導數：$y' = 3x^2$
  • 當x = 0時, $y' = 0$
  • 當x < 0時, $y' > 0$
  • 當x > 0時, $y' > 0$
  • 所以不是極值點而是駐點

例子2

• 求$f(x) = (x-1)x^{\frac{2}{3}}$的極值
  • 可見$x \in R$ 連續
  • 求極值可疑點
    • $f'(x) = 0$
    • $f'(x)$ 不存在
  • $f'(x) = \sqrt[3]{x^2} + (x-1) * \frac{2}{3} * x^{-\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x^2} + \frac{2}{3} (x-1) \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{5}{3} \frac{x - \frac{2}{5}}{\sqrt[3]{x}}$
  • 若$f'(x) = 0$ $\Rightarrow x = \frac{2}{5}$ 爲駐點
  • 若$f'(x)$ 不存在, 則 $x = 0$
  • 所以，目前極值可疑點有兩個點，$\frac{2}{5}$和$0$, 需要分類討論，也就是分區間討論
    • 當x<0時, $f'(x) > 0$
    • 當$0<x<\frac{2}{5}$時, $f'(x) < 0$
    • 當$x>\frac{2}{5}$時, $f'(x) > 0$
  • 可見，這兩點都是極值點，且$0$是極大值點，$\frac{2}{5}$是極小值點