AI筆記: 數學基礎之導數的應用：求極值與最值

穿針引線法

• 又叫做穿線法或數軸穿根法
• 函數$f(x)=(x-1)(x-2)^3(x-3)^2(x-4) \ \ \ x \in R$, 求$f(x)>0$時的x範圍或$f(x)<0$時的x範圍
  • 易見, f(x)=0時，可知該函數的根爲：1,2,3,4 , 作圖的時候注意以下要點：
  • (1)從上到下，從右到左
  • (2)奇穿偶不穿
  • (3)x係數要爲正(如果是負數換成正的)
  • f(x) > 0 時，1<x<2 或 x>4
  • f(x) < 0 時, x<1, 或 (2<x<4 且 $x \neq 3$)

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例子

• 求函數$f(x) = (2-x)(x-1)(x+1) < 0$ 的x範圍
  • 將x係數變正, $f(x) = (x-2)(x-1)(x+1) > 0$
  • 同上解法即可！

極值存在的第二充分條件

• 設函數f(x)在它的駐點$x_0$處二階可導,則
  • (1) 如果$f''(x_0) > 0$, 則$x_0$爲極小值點
  • (2) 如果$f''(x_0) < 0$, 則$x_0$爲極大值點
  • (3) 如果$f''(x_0) = 0$, 則無法判斷
  • 稱爲"二階導數非零法"
  • 說明
    • 此法只適用於駐點，不能用於判斷不可導點
    • 當$f''(x_0) = 0$時, 失效, 如:$x^2, x^3$在$x=0$處
    • 應用面沒那麼廣，但也是一種方法

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例子

• 求函數$f(x) = x^3 + 3x^2 - 24x - 20$的極值
• 分析
  • $f'(x) = 3x^2 + 6x - 24 = 3(x+4)(x-2)$
  • 令$f'(x) = 0$, 得駐點 $x_1 = -4$, $x_2 = 2$
  • $f''(x) = 6x + 6$
  • $f''(-4) = -18 < 0$ 故極大值 $f(-4) = 60$
  • $f''(2) = 18 > 0$ 故極小值 $f(2) = -48$

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求極值的步驟

• (1)確定函數的定義域
• (2)求導數 $f'(x)$
• (3)求定義域內部的極值可疑點(即駐點或一階導數不存在的點)
• (4)用極值的判定第一或第二充分條件(注:第二充分條件只能判定駐點的情形)

函數的最大值、最小值的問題

• 極值是局部性的，而最值是全局性的
• 若函數f(x)在[a,b]上連續, 則f(x)在[a,b]上的最大值與最小值存在 (注意區間是閉區間)

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具體求法

• (1)求出定義域內的極值可疑點(駐點和不可導點), $x_1, ... , x_k$ 並算出函數值 $f(x_i)(i=1,2,...,k)$
• (2)求出端點的函數值$f(a),f(b)$
• (3)求出最值
  • 最大值：$M = max\{ f(x_1), ..., f(x_k), f(a), f(b) \}$
  • 最小值：$m = min\{ f(x_1), ..., f(x_k), f(a), f(b) \}$

例子

• 求函數 $y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 14 \ \ \ x \in R$ 在[-3, 4]上的最大值與最小值
• 分析
  • $f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 = 6(x^2 + x - 2) = 6(x+2)(x-1)$
  • 令$f'(x) = 0$ 求得駐點：-2,1 無不可導點
  • f(-2) = 34, f(1) = 7, f(-3) = 23, f(4) = 142
  • 最大值是142，最小值是7

總結

• 如果f(x)在[a,b]上單調，則它的最值必在端點處取到
• 如果f(x)在[a,b]上連續,且在(a,b)內可導,且有唯一駐點,則若爲極小值點必爲最小值點,若爲極大值點必爲最大值點
• 進一步,若實際問題中有最大(小)值,且有唯一駐點,則不必判斷極大還是極小,立即可以斷定該駐點即爲最大(小)值點

例子

• 將邊長爲a的正方形鐵皮,四角各截去相同的小正方形,折成一個無蓋方盒,問如何截,使方盒的容積最大,爲多少?
• 分析
  • 折起來後形成一個正方體，其體積爲底面積*高
  • $V = x(a-2x)^2 \ \ \ x \in (0, \frac{a}{2})$ 求 max {V}
  • 化簡V，得 $V = 4x^3 - 4ax^2 + a^2x$
  • 對V求一階導數 $V' = 12x^2 - 8ax + a^2 = (2x - a)(6x - a)$
  • 得到兩個值，$\frac{a}{2}, \frac{a}{6}$ 因爲區間限制，捨去前者，存在唯一的駐點 $\frac{a}{6}$
  • 這裏唯一駐點下可以得到最大體積，如果還不放心，可以如下：
    • $V'' = 24x - 8a$, 帶入$\frac{a}{6}$得，$V'' = -4a < 0$ 存在極大值, 這時的極大值就是最大值
    • 當$x=\frac{a}{6}$時，代入原式，得：$V_{max} = \frac{2}{27} a^3$

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例子

• 要做一個容積爲V的圓柱形罐頭筒,怎樣設計才能使所用材料最省?
• 分析：
  • 用料最省的意思就是表面積最小，設底半徑爲r, 高爲h
  • 由體積公式：$V = \pi r^2 h \Rightarrow h = \frac{V}{\pi r^2}$
  • 表面積爲：$S = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r^2 + \frac{2V}{r}$ 這裏 r>0 得到了表面積S與底半徑r之間的一個關係式子
  • 求表面積導數：$S' = 4 \pi r - \frac{2V}{r^2}$, 令 $S' = 0 \Rightarrow r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ 得到唯一駐點
  • 此時可以通過此r求出最小表面積，如果不放心的話，可以求二階導數
    • $S'' = 4 \pi + 4V \frac{1}{r^3} = 4 \pi + 4V \frac{2\pi}{V} = 12 \pi > 0$ 存在極小值，此時極小值爲最小值
    • 當 $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$ 時，代入原式, 得 $S_{min} = 2 \pi (\frac{V}{2 \pi})^{\frac{2}{3}} + 2 V (\frac{V}{2 \pi})^{- \frac{1}{3}}$

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