看傅里葉變換視頻有感

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一，變換

一個點，在笛卡爾座標系中變換成一個數。

變換通常是爲了方便處理某一類型的信息，所以變換一般都有逆變換。

標準正交基：在線性代數中，一個內積空間的正交基（orthogonal basis）是元素兩兩正交的基。稱基中的元素爲基向量。假若，一個正交基的基向量的模長都是單位長度1，則稱這正交基爲標準正交基（Orthonormal basis）。
注意，在沒有定義內積的空間中，“正交基”一詞是沒有意義的。
簡單範例
(1). a=(1/4,-1/4,1);b=(2,-2,-1);c=(1,1,0)是 $R^3$的一組正交基；
(2). α=(1,0,0);β=(0,1,0);γ=(0,0,1)是 $R^3$的一組標準正交基。
(3)在歐幾里德空間 $R^3$ 中，集合：{e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)}組成一個標準正交基。
(4)由fn(x) = exp（2πinx）定義的集合：
{fn:n∈Z}組成在復勒貝格空間L（[0,1]）上的一個標準正交基。

二,傅里葉級數

傅里葉級數：法國數學家傅里葉發現，任何週期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示（選擇正弦函數與餘弦函數作爲基函數是因爲它們是正交的）

傅里葉級數的標準正交基：$1,cos\omega_t,sin\omega_t$

傅里葉級數展開後是信號有了頻域特徵。有三個特徵值：頻率（時域），幅值（頻域，時域），相位（時域）。

三，傅里葉變換

上面的傅里葉級數是用於分析連續週期函數，更一般地，對於連續非週期函數，則用傅里葉變換。

歐拉公式：歐拉公式所描繪的，是一個隨着時間變化，在複平面上做圓周運動的點，隨着時間的改變，在時間軸上就成了一條螺旋線。如果只看它的實數部分，也就是螺旋線在左側的投影，就是一個最基礎的餘弦函數。而右側的投影則是一個正弦函數。
$e^{i\omega_t}=cos\omega_t+isin\omega_t$


在進行傅里葉正變換時有兩種結果，等於零（表示不含有$\omega$分量），不等於零（表示含有$\omega$分量）。

四，應用

聲音處理（變聲）： 頻率低是男聲，頻率高的是女聲，在高頻是噪聲。可以用於變聲。
圖像處理（磨皮）：低頻是輪廓，高頻是細節。可以進行傅里葉變換濾掉高頻，再進行傅里葉逆變換。