透視正確插值Perspective Correct Interpolation

線性插值的問題

OpenGL在進行光柵化時，對於每個fragment shader的input attribute作插值，這個插值默認情況下perspective correct的。插值默認是screen space進行的，如果使用簡單的線性插值，對於texture mapping會得到錯誤的結果，來看下圖（圖片取自《Graphics Shaders 2nd》）。

可以明顯地看到採用線性插值的quad中兩個triangles的邊界。

Perspective Correct Interpolation的簡單推導

OpenGL 4.5 spec 14.6 p456中給出地插值公式如下

$f = \frac{af_a/w_a+bf_b/w_b+cf_c/w_c}{a/w_a+b/w_b+c/w_c}\quad (1)$

其中$(a,b,c)$爲fragment對應的重心座標，$f_i$爲頂點處地attribute，$w_i$爲頂點齊次座標地最後一個分量。

爲了簡化討論，我們這裏在2D中進行討論，結論對3D同樣有效。

考慮上圖中的線段AB，投影后的線段爲A’B’，其中A’B’的中心$x=0$。我們可以容易地發現，A’B’中心並不對應AB中心，所以直接使用$0.5$對AB屬性進行線性插值會得到錯誤的結果。容易想到，如果我們通過screen space的插值係數，得到camera space的插值係數，那麼就可以得到perspective correct的interpolation。

假設screen space的點P的插值係數爲$t$，A爲$(x_0,y_0)$，B爲$(x_1, y_1)$，near plane $y=1$（不影響結果，爲1可以簡化討論），可知

$A'_x = \frac{x_0}{y_0}, B'_x = \frac{x_1}{y_1}$

計算$OP$與$AB$的交點，我們可以得到camera space的插值係數爲$s$爲

$s(t) = \frac{\frac{t}{y_1}}{(1-t)\frac{1}{y_0}+t\frac{1}{y_1}}$

若我們在A處屬性爲$a$，B處屬性爲$b$，那麼使用$s(t)$進行插值，結果爲

$P(s)=(1-s)a+sb=\frac{(1-t)\frac{a}{y_0}+t\frac{b}{y_1}}{(1-t)\frac{1}{y_0}+t\frac{1}{y_1}} \quad(2)$

如果使用標準透視矩陣，那麼$(1)$中的$w_i=-z_i$，我們可以看出公式$(2)$與$(1)$是一致的。

公式$(2)$可以進一步表示爲線性插值

$\begin{aligned} P(s)&= (1-p)a+p \cdot b \\ p&=\frac{t\frac{1}{y_1}}{(1-t)\frac{1}{y_0}+t\frac{1}{y_1}} \\ \end{aligned}$

gl_Position

也許有人會有疑問，我們能不能在vertex shader中進行透視除呢？即對於齊次座標$(x,y,z,w)$，手動進行透視除，得到$(\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w},1)$並賦值給gl_Position。我們可以將$w=1$代入$(1)$，得到

$\begin{aligned} f&=\frac{a}{a+b+c}f_a+\frac{a}{a+b+c}f_b+\frac{a}{a+b+c}f_c \\ &=af_a+bf_b+cf_c \end{aligned}$

顯然這退化成爲了screen space的線性插值，所以必然最後結果是不正確的。在Unity中作一個簡單的實驗就可以看到結果

上圖是未進行透視除的結果，下圖是進行透視除的結果。

測試代碼如下

Shader "Unlit/VertexColor"
{
	Properties
	{
		_MainTex ("Main Texture", 2D) = "white" {}
		[Toggle] _ManualPerspectiveDivision ("Manual Perspective Division", Float) = 0
	}
	SubShader
	{
		Tags { "RenderType"="Opaque" }
		LOD 100

		Pass
		{
			GLSLPROGRAM

			#include "UnityCG.glslinc"

			#ifdef VERTEX

			uniform int _ManualPerspectiveDivision;

			out vec2 vST;

			void main()
			{
				vST = gl_MultiTexCoord0.st;
				gl_Position = gl_ModelViewProjectionMatrix * gl_Vertex;
				if (_ManualPerspectiveDivision != 0) {
					gl_Position /= gl_Position.w;
				}
			}

			#endif

			#ifdef FRAGMENT

			in vec2 vST;
			uniform sampler2D _MainTex;

			void main()
			{
				gl_FragColor = texture(_MainTex, vST);
			}

			#endif
			
			ENDGLSL
		}
	}
}

結論

1. 要進行perspective correct interpolation，不能直接在screen space利用重心座標直接進行插值。
2. 齊次座標的$w$對於進行perspective correct interpolation至關重要，不能在vertex shader中手動進行透視除。