圖的連通性問題之Prim算法和克魯斯卡爾(Kruskal)算法

前言

這是我聽老師講課做的筆記,考試要看的。
作者：RodmaChen
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一.概念

生成樹(必考)：圖的極小連通子圖。即：對於有n個頂點的無向連通圖，無論其生成樹的形態如何，所有生成樹中都有且僅有
n－1條邊。

如果在一棵生成樹上添加一條邊，必定構成一個環。

如果一個圖有N個頂點和小於N-1條邊，則是非連通圖。

有N-1條邊的圖不一定是生成樹。

最小生成樹（Minimum Spanning Tree） ：如果無向連通圖是一個網，那麼，它的所有生成樹中必有一棵邊的權值總和最小的生成樹。

二.求最小生成樹的兩個算法

必考考兩個算法（5分）

1. Prim算法

（1）介紹

假設G＝（V，E）爲一網圖，其中V爲網圖中所有頂點的集合，E爲網圖
中所有帶權邊的集合。設置兩個新的集合U和T，其中集合U用於存放G 的最小生成樹中的頂點，集合T存放G的最小生成樹中的邊。令集合U的初值爲U＝{u1}（假設構造最小生成樹時，從頂點u1出發），集合T的初值爲T＝{}

Prim算法的思想是:從所有u∈U，v∈V－U的邊中，選取具有最小權值
的邊（u，v），將頂點v加入集合U中，將邊（u，v）加入集合T中，如
此不斷重複，直到U＝V時，最小生成樹構造完畢，這時集合T中包含了
最小生成樹的所有邊。

（2）代碼實現

void Prim( MGraph G, VertexType u) {
//用普里姆算法從第u個頂點出發構造網G的最小生成樹T,輸出T的各條邊。
//記錄從頂點集U到V-U的代價最小的邊的輔助數組定義:
/ struct {
// VertexType adivex;
// VRType lowcost;
// }closedge[ MAX_VERTEX_NUM];
//(1) 求初始頂點下標k
i=0;
while(G.vex[i]!=u)
i++;
k=i;
//（2）初始化closedge數組
for(i=0;i<G.n;i++)
{
closedge[i].adivex=u;
closedge[i].lowcost=G.edges[k][i];
}
closedge[k]. lowcost = 0; //初始,U={u}
//(3)找剩餘的頂點
for(i=1;i<G.n;i++)
{
k=minimum(closedge) ;
printf(closedge[k].adjvex;G.vex[k])
closedge[k]. lowcost=0;
for (j=0; j<G. vexnum; j++)
if (G. edgs[k][j] < closedge[j]. lowcost)
{
closedge[j].lowcost = G. edgs[k][j];
closedge[j].adjvex= G. vex[k];
}
}
}

2. 克魯斯卡爾(Kruskal)

算法思想（找出最小權值連接）

（1） 首先構造一個只有n個頂點但沒有邊的非連通圖T={V, ∅ },圖中每個頂點自成一個連通分量。

（2）當在邊集 E 中選到一條具有最小權值的邊時,若該邊的兩個頂點落在T中不同的連通分量上，則將此邊加入到生成樹的邊集合T 中；否則將此邊捨去，重新選擇一條權 值最小的邊。
（3）如此重複下去，直到所有頂點在同一個連通分量上爲止。 此時的T即爲所求。

三.有向無環圖（DAG圖）

一個無環的有向圖稱做有向無環圖(directed acycline graph)，簡稱DAG圖。

應用：拓撲排序

1.拓撲排序的定義

拓撲排序是將有向圖的頂點排成一個線性序列的過程,它滿足:

• 若i到j有一條路徑,i是j前驅,j是i的後繼.
• 若<i,j>是一條弧,則i是j直接前驅,j是i的直接後繼。

用頂點表示活動，用弧表示活動間的優先關係的有向無環圖，稱爲 頂點表示活動的網（Activity On Vertex
Network），簡稱爲 AOV- 網。

（2）拓撲排序的方法（Topological Sort）

在有向圖中選一個沒有前驅的頂點，且輸出之；

從有向圖中刪除該頂點和以它爲尾的所有弧；

重複以上兩步，直至所有頂點被輸出，或有向圖中沒有無前驅的結點

（1）採用鄰接表作有向圖的存儲結構，且在頭結點中增加一個存放頂點入度的數組。

（2）入度爲0的頂點即爲沒有前驅的結點，刪去頂點及以它爲尾的弧的操作，可換成弧頭頂點的入度減1的操作。

（3）爲避免重複檢測入度爲0的頂點，另設一棧暫存所有入度爲0的頂點。

要考

路徑長度最長的路徑叫做 關鍵路徑。

四.邊學邊練

1. 如下圖所示的一個網圖，按照Prim方法，從頂點v1出發，畫出
   該網的最小生成樹。

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