算法分析與時間複雜度

算法分析的數學基礎

使用以下四個定義：

1. 如果存在正常數c與n0，使得當N≥n0時，T(N) ≤ cf(N)，則記爲T(N) = O(f(N)). 也就是大O表示法
2. 如果存在正常數c與n0，使得當N≥n0時，T(N) ≥ cf(N)，則記爲T(N) = Ω(f(N)) .也就是大Ω表示法
3. T(N) = Θ(h(N)) 當且僅當 T(N) = O(h(N)) ，且 T(N) = Ω(h(N)) .
4. 如果 T(N) = O(p(N)) 且T(N) ≠ Θ(p(N)) , 則 T(N) = o(p(N)) .

總結：

通俗的說，這幾種表示法可以理解如下：

1. 大O表示法： f(x) = O(g(x)) 表示的含義是f(x)以g(x)爲上界
2. 小o表示法： f(x) = o(g(x)) 表示的含義是f(x)趨近於g(x)
3. Ω表示法：f(x) = Ω(g(x)) 表示的含義是f(x)以g(x)爲下界
4. Θ表示法：f(x) = Θ(g(x)) 表示的含義是g(x)是f(x)的確界
   

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算法的常見時間複雜度

由圖中的時間複雜度增長趨勢可以看出:

1. 最優的算法複雜度爲logN
2. 當 N 的值較小時，NlogN < N, 當 N 的值較大時，NlogN > N
3. 指數次方與階乘的複雜度非常高，一般不能使用這些算法，二次方或三次方的時間複雜度在N值較大是也是相當高的，在設計算法的時候必須要注意這一點