3D 座標變換 公式 推導

更新 ¹ [用抽象代數討論仿射變換和仿射空間中的座標變換] ，以下是之前的內容。

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下面使用行向量：

e1=(1,0,0)
e2=(0,1,0)
e3=(0,0,1)
i, j, k是三個線性無關的向量²，它們在e1,e2,e3座標系下的座標也記作i,j,k
i’, j’, k’是三個線性無關的向量，它們在e1,e2,e3座標系下的座標也記作i’, j’, k’

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$denote \quad \begin{bmatrix}i\\j\\k\end{bmatrix}=A,\begin{bmatrix}i'\\j'\\k'\end{bmatrix}=B$


已知點P相對於Oijk的座標是(x,y,z)
則點P相對於O’i’j’k’的座標：

$(x',y',z')=((x,y,z)A+(O-O'))B^{-1}$

若B是正交矩陣，就不用求逆了，求轉置就是。
特別地，
若O=(0,0,0),i=e1,j=e2,k=e3,則
$(x',y',z')=((x,y,z)-O'))B^{-1}$

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##推導

設點P相對於O’i’j’k’的座標是(x’,y’,z’)

$\because P =O+(x,y,z)A=O'+(x',y',z')B$
$\therefore(x',y',z')=((x,y,z)A+(O-O'))B^{-1}$

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##補充
記 $B=AM\quad (M=A^{-1}B)$，即M是把i,j,k變換到i’,j’,k’的變換矩陣，
$\therefore(x',y',z')=((x,y,z)A+(O-O'))M^{-1}A^{-1}$
特別地，
若O=(0,0,0),i=e1,j=e2,k=e3,則
$(x',y',z')=((x,y,z)-O'))M^{-1}\quad and \quad M=B$

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應用

實際應用中，用到的一般都是O=(0,0,0),i=e1,j=e2,k=e3的特殊情況，
這是因爲：問題在描述O’i’j’k’座標的時候一般都是相對於Oikj而言的；
這裏沒有絕對的座標系，仿射空間中任何一個點都看以看成(0,0,…0)，任意一組基都可以看成{(1,0,…0), (0,1,…0), (0,0,…1)}。
$(x,y,z,1)\begin{bmatrix} M^{-1}& 0\\ -O'M^{-1}& 1 \\ \end{bmatrix}=(x',y',z',1)$
$\begin{bmatrix} M^{-1}& 0\\ -O'M^{-1}& 1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} M& 0\\ O'& 1 \\ \end{bmatrix}^{-1}$

換個角度理解

點P不動，把座標架O,i,j,k變換到O’,i’,j’,k’，則變換矩陣是$\begin{pmatrix} M & 0 \\ O' & 1 \end{pmatrix}$, M=B,
就相當於 座標架不動，點P逆着上述變換，變換到新座標。

變換的兩種方式

①先原地變換座標架，再平移座標架
$\begin{bmatrix} B &0 \\ 0&1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I &0 \\ O' & 1 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} B &0 \\ O' &1 \\ \end{bmatrix}$
②先平移座標架，再相對平移之後的原點變換座標架
$\begin{bmatrix} I &0 \\ O' & 1 \\ \end{bmatrix}X=\begin{bmatrix} B &0 \\ O' &1 \\ \end{bmatrix}\qquad X=\begin{bmatrix} B &0 \\ O'-O'B &1 \\ \end{bmatrix}$
X可以看成先平移回原點，相對原點 原地變換 座標架，再平移過去：
$X=\begin{bmatrix} B &0 \\ -O'B &1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I &0 \\ O'&1 \\ \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} B &0 \\ -O'B &1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I &0 \\ -O' &1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B &0 \\ 0&1 \\ \end{bmatrix}$

注意到 X 與 $\begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是相似矩陣，正是同一(4維的)線性變換在不同基下的座標表示。³

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1. Someone in the comments missed it. 所以加粗了。 ↩︎

2. @評論，不要求 i,j,k 的單位長度和正交性。 ↩︎

3. http://blog.csdn.net/u010476094/article/details/50551014 ↩︎