引言
Strassen的矩陣相乘方法是一種典型的分治算法。目前爲止，我們已經見過一些分治策略的算法了，例如歸併排序和Karatsuba大數快速乘法。現在，讓我再看看分治策略的背後是什麼。
同動態規劃不同，在動態規劃中，爲了得到最終的解決方案，我們經常需要把一個大的問題“展開”爲幾個子問題，但是這裏，我們會更多的談到如何把一些子解決方案組合到一起。這些子問題的解決方案是對等的，他們的歸併方式也是通過某種方式定義好的。
一個典型的例子就是歸併排序算法。在歸併排序中，我們有兩個有序數組，我們想要這兩個數組在合併之後仍然保持有序。當然了，在歸併排序中，最複雜的部分當屬自我合併，而原因則是，我們不得不傳遞兩個數組，A和B，然後去比較每一“對”分別來自數組A和數組B的元素。有一點離題，但是，這是歸併排序的一個弱點，雖然，它的最壞情況的時間複雜度是 O(n.log(n))，但是，快速排序卻經常是實踐中更爲有效的排序方法，因爲，它沒有“合併”的過程。快速排序僅僅把兩個子數組連接到一起，請注意，在快速排序中，子數組一般並不具有相同的長度，雖然他的最壞時間複雜度是O(n^2)，但它的性能卻經常好於歸併排序。
在以上段落中，那個簡單的例子告訴我們，有時候如何合併兩個子問題的解決方案並不是一個簡單的事情。因此，當我們使用分治策略的時候，我們必須非常謹慎。
歷史
Volker Strassen是一位出生於1936年的德國數學家。他因爲在概率論上的工作而廣爲人知，但是在計算機科學和算法領域，他卻因爲矩陣相乘算法而被大部分人認識，這個算法目前仍然是比通用矩陣相乘算法性能好的主要算法之一。
Strassen在1969年第一次發表關於這個算法的文章，並證明了複雜度爲n^3的算法並不是最優算法。實際上，Strassen給出的解決方案只是會更好一點點，但是，他的貢獻卻是巨大的，因爲他的工作激發了矩陣相乘領域更多的研究，比如複雜度爲O(n^2,3737)的Coppersmith-Winograd算法。
概述
兩個矩陣 A[NxN] 和 B[NxN] 相乘的通用算法是非常簡單的。雖然，矩陣相乘比兩個數字相乘要複雜得多，而且也不滿足交換律，但它仍然非常簡單——同時也很慢。
讓我們先來定義一下什麼是A[NxN]矩陣。因爲我們要說下NxN矩陣，讓我們先想象一個有N行N列的方格網。在每一行和每一列的A[i][j]，我們都有一個值。
當然，作爲一個開發者，我們可以把一個矩陣看成一個二維數組。
// PHP two-dimensional array
$a = array(
0 => array($v1, $v2, $v3, $v4),
1 => array($v5, $v6, $v7, $v8),
2 => array($v9, $v10, $v11, $v12),
);不要忘記，一個NxN的矩陣僅僅是矩陣中的一種情況，同樣的，我們可以有其他任何大小的NxM階矩陣(N <> M)。
然而，爲了和另外的矩陣相乘，矩陣的大小是非常重要的，爲什麼？
正如我上面提到的一樣，矩陣相乘和數字相乘並不一樣。首先，這個操作並不滿足交換律。
第二個問題是，你用來相乘A和B的方法。
僅僅因爲這種方法只對NxN階矩陣有效，因此我們能看到把矩形矩陣相乘產生的問題。確實，這是不可能的，除非A矩陣的第二維和B矩陣的第一維相等。
不過好在我們現在正在討論的是具有相同維數的方形矩陣。
好的，現在我們知道如何把兩個方形矩陣相乘了（具有相同維數NxN），現在，讓我們一起去估算一下通用矩陣相乘算法的時間複雜度。
我們知道A.B = C，當且僅當：
C[i][j] = sum(A[i][k] * B[k][j]) for k = 0 .. n於是，我們有一個n^3複雜度的操作。現在，讓我們盡力找一個分治策略的算法。
這個對於矩陣來說確實並不難，因爲我們知道，一個矩陣可以被分成很多更小的子矩陣。
現在，我們有什麼？
再一次——同樣的時間複雜度——我們有了8個乘積和4個和，那麼，計算量在哪？
當然， 爲了得到更快的解決方案，我們不得不看一下Strassen在1969做過的工作。他如下圖定義了P1, P2, P3, P4, P5, P6 和 P7。
時間複雜度
正如我以上提到過的，Strassen算法僅僅比通用矩陣相乘算法好一點點。通用矩陣相乘算法時間複雜度是O(n^3)，然而Strassen算法複雜度則是O(n^2.80)。
你能在下圖觀察到，隨着n的變大，Strassen算法是如何比通用矩陣相乘算法變得更有效率的。
應用
雖然這個算法看起來更接近純數學領域，而不是計算機領域。但在實際應用中，在任何用到NxN數組的地方，我們都可以從矩陣相乘算法中獲益。
另一方面，Strassen算法並不比n^3複雜度的通用矩陣相乘算法快很多。這很重要，因爲對於一個很小的n(通常n<45)來說，通用矩陣相乘算法在實踐中往往是更好的選擇。然而，你可以從以上的圖片中看到，對於n>100的情況來說，這兩個算法的差別還是相當大的。
同時，當我們談到|V| = n的鄰接矩陣，以及一些依賴矩陣相乘的圖論算法的時候，NxN數組經常會在這些領域中被使用。