公式爲:
設 ans = ∑(n! / ((d!)^(n/d)*(n/d)!))
則答案爲m ^ ans
證明:
考慮現在有d * k個點,d代表每個團的點數,那麼k就是個數了,記方案數爲Ak。
然後現在又來了d個點,記方案數爲Ak+1。(即現在有n = d * (k + 1)個點)
我們選擇一個點,讓這個點與其他的d - 1個點組成團,方案數爲C(d * (k + 1) - 1, d - 1),那麼就剩下了k * d個點,方案數爲Ak,那麼有
Ak+1 = C(d * (k + 1) - 1, d - 1) * Ak
把組合數展開成階乘形式,再給分子分母同時乘上d * (k + 1),然後遞推展開,用n = d * (k + 1)代換,就可以得到上面式子。
注意題目中的p是個質數,那麼我們求出ans mod (p - 1)即可,但是p - 1不是質數,直接求逆元的方法行不通。
但是發現p - 1 = 2 * 13 * 5281 * 7283。
我們用類似擴展Lucas的方法,最後CRT合併就行了。
/* Telekinetic Forest Guard */
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 1000005;
int cnt = 4, pr[] = {0, 2, 13, 5281, 7283};
inline int mul(int a, int b, int p) {
return (LL)a * b % p;
}
inline int qpow(int a, int n, int p) {
int res = 1;
for(; n; n >>= 1, a = mul(a, a, p)) if(n & 1) res = mul(res, a, p);
return res;
}
inline void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
b ? (exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x) : (x = 1, y = 0);
}
inline int inv(int a, int p) {
int x, y;
exgcd(a, p, x, y);
if(x < 0) x += p;
return x;
}
inline int fact(int n, int p) {
if(n == 0 || n == 1) return 1;
int res = 1;
for(int i = 2; i <= n && i <= p; i++) if(i % p) res = mul(res, i, p);
res = qpow(res, n / p, p);
for(int k = n % p, i = 2; i <= n && i <= k; i++) if(i % p) res = mul(res, i, p);
return mul(res, fact(n / p, p), p);
}
int tot, di[maxn];
inline void getdiv(int n) {
tot = 0;
for(int i = 1; i * i <= n; i++) if(n % i == 0)
di[++tot] = i;
}
inline int calc(int n, int pi, int p) {
int factn = fact(n, pi), k = 0, res = 0;
for(int x = n / pi; x; x /= pi) k += x;
for(int i = 1; i <= tot; i++) {
int factd = fact(di[i], pi), factnd = fact(n / di[i], pi);
int tmpk = 0;
for(int x = di[i] / pi; x; x /= pi) tmpk += x;
tmpk *= n / di[i];
for(int x = n / di[i] / pi; x; x /= pi) tmpk += x;
(res += mul(mul(mul(factn, inv(qpow(factd, n / di[i], pi), pi), pi), inv(factnd, pi), pi), qpow(pi, k - tmpk, pi), pi)) %= pi;
if(di[i] * di[i] != n) {
swap(factd, factnd);
tmpk = 0;
for(int x = n / di[i] / pi; x; x /= pi) tmpk += x;
tmpk *= di[i];
for(int x = di[i] / pi; x; x /= pi) tmpk += x;
(res += mul(mul(mul(factn, inv(qpow(factd, di[i], pi), pi), pi), inv(factnd, pi), pi), qpow(pi, k - tmpk, pi), pi)) %= pi;
}
}
return mul(mul(res, p / pi, p), inv(p / pi, pi), p);
}
int main() {
int T, p = 999999599;
for(scanf("%d", &T); T; T--) {
int n, m; scanf("%d%d", &n, &m);
getdiv(n);
int ans = 0;
for(int i = 1; i <= 4; i++)
(ans += calc(n, pr[i], p - 1)) %= p - 1;
printf("%d\n", qpow(m, ans, p));
}
return 0;
}