量子計算入門學習筆記（六 量子測量-上 ）

經過了萬惡的期末考試 之後，我們再次重新踏上量子學習的不歸路（手動狗頭）！
如果您是第一次觀看我的博客，如果您也是和我一樣剛入門量子力學或是量子計算相關的學習，糾結於量子計算的抽象與晦澀難懂，那麼本專欄（量子計算）一定是您的不二之選，學海本就苦，願你有甜心，如果覺得博主寫的有錯誤的直接在評論區留言，博主也是大一的一名程序狗，希望大家多多支持，點點贊，另外，本專題是每週一更或二更，有需要的小夥伴可以點點專注！

一. 定義與實例

還記得我們一開始學習量子的時候，每個人都聽說或者學習過薛定諤的貓，這個例子的引用雖然讓我們能從宏觀世界的角度高屋建瓴般的理解了量子的初步概念，但是也爲我們的眼前蒙上了一層又一層的朦朧迷霧！我們在知道了這個式子 $|\varphi\rangle=\alpha|L\rangle+\beta|D\rangle$之後，又被強制的記住 $|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}=1$,且這裏的$|\alpha|^{2}$與$|\beta|^{2}$ 就分別是貓咪生與死的概率，現在我們雖然知道這二者之和爲1 與內積相關，但到底爲何能用他們代表概率至今也爲給出徹底的定量解釋，現在，我們可以真正的認識到這個可憐的小貓咪背後的生殺予奪大權由誰操縱！

定義： 對於一個由狀態 $|\varphi\rangle$ 描述的量子系統, 可以由一組測量算符 $\left \{ M_{m}\right \}$ 描述，這些算符作用在被測量系統的態空間上, 可能的測量結果 m 發生的可能性爲：
$p(m)=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{m}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{m}\right| \psi\right\rangle$
這裏，測量的本質還是與內積相關，返回的也是它的概率數值，我們用算子測量去測量 $|\varphi\rangle$，由於內積，左右兩邊分別爲左矢和右矢，所以用一下這個共軛轉置矩陣（厄米算子），由於年代久遠，我還是在這裏爲大家舉個例子複習一下（其實我自己也忘了）。

共軛轉置就是先取共軛，再取轉置：
$若\begin{array}{c} A=\left(\begin{array}{cc} 1+i & i \\ 2-i & 3 \end{array}\right) ， 則 A^{\dagger} =\left(\begin{array}{cc} 1-i & 2+i \\ -i & 3 \end{array}\right) \end{array}$
測量之後的系統狀態爲:
$p(m)=\frac{\boldsymbol{M}_{m}|\psi\rangle}{\sqrt{\left\langle\psi\left| \boldsymbol{M}_{m}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{m}\right| \psi\right\rangle}}$
且滿足上述二式的條件：測量算符需要滿足完備性方程：
$\sum \boldsymbol{M}_{m}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{m}=I$
且所有的概率之和爲1：
$\sum_{m} p(m)=\sum_{m}\left\langle\psi\left|M_{m}^{\dagger} M_{m}\right| \psi\right\rangle=1$

莫急！待我舉兩個例子！

例 1： 用 $\left \{|0\rangle，|1\rangle\right \}$ 來測量量子態 $|\varphi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$

解： 這裏的兩個測量算子分別爲： $\boldsymbol{M}_{0}=|0\rangle \langle 0|= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right],\boldsymbol{M}_{1}=|1\rangle \langle 1|= \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]$,

所以易得$\boldsymbol{M}_{0}^{2}=\boldsymbol{M}_{0}, \boldsymbol{M}_{1}^{2}=\boldsymbol{M}_{1}$，且 $I=\boldsymbol{M}_{0}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{0}+\boldsymbol{M}_{1}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{1}=\boldsymbol{M}_{0}+\boldsymbol{M}_{1}$ （$I$單位矩陣）

這幾步我認爲屏幕前聰明睿智的小夥伴們目測就可以驗證~~

以此，有 $p(0)=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{0}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{0}\right| \psi\right\rangle=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{0}\right| \psi\right\rangle=\left [ \alpha ，\beta \right ] \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \alpha \\ \beta \end{array}\right]=|\alpha|^{2}$.

同理，$p(1) = |\beta |^{2}$.所以測得$|0\rangle$ 的概率爲 $|\alpha|^{2}$, 以 $|\beta |^{2}$的概率測得$|1\rangle$，更進一步，測量後二者的狀態爲:
$\frac{M_{0}|\psi\rangle}{\left | \alpha\right |} = \frac{\alpha }{\left|\alpha\right|}|0\rangle\\ \frac{M_{1}|\psi\rangle}{\left | \beta\right |} = \frac{\beta}{\left|\beta\right|}|1\rangle$

這個例子可以說讓我們真正的量化了解薛定諤的貓的幕後黑手是誰了！
我們再來看看用多量子比特序列來測量會有什麼結果！

例2： 量子比特對可以表示爲 ：$|\varphi\rangle=\alpha_{00}|00\rangle+\alpha_{01}|01\rangle+\alpha_{10}|10\rangle+\alpha_{11}|11\rangle$ ，通過測 定取經典比特各種列值的概率！

解： 其實我們這裏應該都知道了它的概率就每一項對應係數的平方！
$\boldsymbol{M}_{00}=|00\rangle \langle 00|= \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right],\boldsymbol{M}_{01}=|01\rangle \langle 01|= \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \\ \boldsymbol{M}_{10}=|10\rangle \langle 10|= \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right],\boldsymbol{M}_{11}=|11\rangle \langle 11|= \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$
又因爲 $\boldsymbol{M}_{00}^{2}=\boldsymbol{M}_{00}, \boldsymbol{M}_{01}^{2}=\boldsymbol{M}_{01}, \boldsymbol{M}_{10}^{2}=\boldsymbol{M}_{10}, \boldsymbol{M}_{11}^{2}=\boldsymbol{M}_{11}$

$I=\boldsymbol{M}_{00}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{00}+\boldsymbol{M}_{01}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{01}+\boldsymbol{M}_{10}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{10}+\boldsymbol{M}_{11}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{11}=\boldsymbol{M}_{00}+\boldsymbol{M}_{01}+\boldsymbol{M}_{10}+\boldsymbol{M}_{11}$
所以：
$p(00)=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{00}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{00}\right| \psi\right\rangle=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{00}\right| \psi\right\rangle=\left|\alpha_{00}\right|^{2}$
$p(01)=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{01}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{01}\right| \psi\right\rangle=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{01}\right| \psi\right\rangle=\left|\alpha_{01}\right|^{2}$
$p(10)=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{10}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{10}\right| \psi\right\rangle=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{10}\right| \psi\right\rangle=\left|\alpha_{10}\right|^{2}$
$p(11)=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{11}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{11}\right| \psi\right\rangle=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{11}\right| \psi\right\rangle=\left|\alpha_{11}\right|^{2}$

偷偷告訴你一個小祕密，不動手算 毛用都沒有！

二. 量子狀態的區分

量子狀態的區分並不像我們拋硬幣區分正反面一樣簡單，它有一些複雜，當然也要用到我們上面說的用公式去計算概率，在真是說明這個東西之前，我們來看看什麼是 “測量公設” ：

測量公設是一個基本假設 。測量系統和被測系統可以看做一個更大的封閉的量子系統組成部分。而孤立的量子系統可以用幺正變換描述其演化過程。從態的演化公設能否直接推出測量公設,仍未定論。我們要做的是將其作爲出發點,應用這一假設,而不必過多究其由來。

前面我們說滿足測量條件的前提就是狀態集 $|\psi_{i}\rangle$ 必須是正交的，下面我以Alice 和 Bob 兩個人來爲大家詳細的解釋一下：

首先，Alice 肯定要去從兩個人都知道的矢量集中選取其中的一個矢量狀態$|\psi_{i}\rangle\left ( 1\leqslant I \leqslant n \right )$，然後Bob 的任務就是找到Alice交給他的這個矢量態對應的 $i$。

（1） 如果狀態集是正交的。我們用前面的測量方法，Bob可以 定義幾個滿足完備關係的測量算子 ，$\boldsymbol{M}_{i}=|\psi_{i}\rangle \langle \psi_{i}|$ 等等，對於 $|\psi_{i}\rangle$ ,如果算得 $p(i)=\left\langle\psi\left|\boldsymbol{M}_{i}\right| \psi\right\rangle = 1$ ,那麼就算是測出來這個 $i$ 了! 故可以較爲可靠的區分！

（2） 如果狀態集不是正交的。對於兩個非正交狀態的 $|\psi_{1}\rangle$ 和 $|\psi_{2}\rangle$, Bob不能區分的關鍵原因是 $|\psi_{2}\rangle$矢量可以分解出一個平行於 $|\psi_{1}\rangle$ 的非零分量和一個垂直於$|\psi_{1}\rangle$的分量，在我們用某些方法測量的時候，分量的作用會多多少少改變我們的概率值，所以得不到我們真正想要的概率值從而是Bob很有可能做出誤判！

(接下來給出理性的證明！ )

我們使用反證法，假設非正交的狀態 $|\psi_{1}\rangle$ 與$|\psi_{2}\rangle$也可以進行測量！即$\left \langle \psi_{1}|\psi_{2} \right \rangle \neq 0$ ,假設存在算符 $\boldsymbol{E_{1}},\boldsymbol{E_{2}}$,可以精確的區分 $|\psi_{1}\rangle，|\psi_{2}\rangle$，，其中$\boldsymbol{E_{1}}=\boldsymbol{M}_{1}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{1}, \boldsymbol{E_{2}}=\boldsymbol{M}_{2}^{\dagger} \boldsymbol{M}_{2}$，則根據公式我們可得：
$\left\langle\psi_{1}\left|\boldsymbol{E}_{1}\right| \psi_{1}\right\rangle=1,\left\langle\psi_{2}\left|\boldsymbol{E}_{2}\right| \psi_{2}\right\rangle=1$
但是歸一化條件又說了：$\sum_{i} p(i)=\sum_{i}\left\langle\psi_{1}\left|E_{i}\right| \psi_{1}\right\rangle=1$

顯然，得到$\left\langle\psi_{1}\left|E_{2}\right| \psi_{1}\right\rangle = 0$,拆開就是 $\sqrt{\boldsymbol{E}_{2}}|\psi_{1}\rangle =0$，又因爲$|\psi_{1}\rangle$與$|\psi_{2}\rangle$非正交，可以分解： $\left|\psi_{1}\right\rangle=\alpha\left|\psi_{2}\right\rangle+\beta\left|\psi_{2}^{\perp}\right\rangle$，聯立粉色 的式子可得：
$\sqrt{\boldsymbol{E}_{2}}\left|\psi_{1}\right\rangle=\beta \sqrt{\boldsymbol{E}_{2}}\left|\psi_{2}^{\perp}\right\rangle$
再將拆開的式子重寫成內積的形式，又因爲 $\alpha , \beta$都小於 1：

$\left\langle\psi_{1}\left|\boldsymbol{E}_{2}\right| \psi_{1}\right\rangle=\beta^{2}\left\langle\psi_{2}^{\perp}\left|\boldsymbol{E}_{2}\right| \psi_{2}^{\perp}\right\rangle \leq \beta^{2} \sum_{i}\left\langle\psi_{2}^{\perp}\left|\boldsymbol{E}_{i}\right| \psi_{2}^{\perp}\right\rangle=\beta^{2}<1$
顯然，這與我們前面的假設是矛盾的，證畢！

所以，非正交態不可嚴格區分！

本期的量子計算學習就到這裏了，大家可以動手算一下，本人親測，會有一些小疑惑等着你去思考，下期我們將學習密度算符及其相關內容！