【轉】加權最小二乘法

加權最小二乘、迭代最小二乘、抗差最小二乘、穩健最小二乘

他們細節的區別我就不過分研究了，不過這些最小二乘似乎表達的是一個意思：

構造權重函數，給不同測量值不同的權重，偏差大的值權重小，偏差小的權重大，採用迭代最小二乘的方式最優化目標函數。

下面是matlab中robustfit函數權重函數，可以參考一下：

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% https://www.cnblogs.com/tiandsp/p/10330393.html
% 圖中一共三個曲面，最下層是原模型，
% 最上層是普通最小二乘擬合模型，
% 中間層是加權最小二乘擬合模型。
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all;
close all;
clc;

a=2;b=2;c=-3;d=1;e=2;f=30;   %係數         
n=1:0.2:20;
x=repmat(n,96,1);
y=repmat(n',1,96);
z=a*x.^2+b*y.^2+c*x.*y+d*x+e*y +f;      %原始模型     
surf(x,y,z)

N=100;
ind=int8(rand(N,2)*95+1);

X=x(sub2ind(size(x),ind(:,1),ind(:,2)));
Y=y(sub2ind(size(y),ind(:,1),ind(:,2)));
Z=z(sub2ind(size(z),ind(:,1),ind(:,2)))+rand(N,1)*20;       %生成待擬合點，加個噪聲

Z(1:10)=Z(1:10)+400;                    %加入離羣點

hold on;
plot3(X,Y,Z,'o');

XX=[X.^2 Y.^2 X.*Y X Y ones(100,1)];
YY=Z;

C=inv(XX'*XX)*XX'*YY;                                          %最小二乘
z=C(1)*x.^2+C(2)*y.^2+C(3)*x.*y+C(4)*x+C(5)*y +C(6);           %擬合結果
Cm=C;
mesh(x,y,z)

z=C(1)*X.^2+C(2)*Y.^2+C(3)*X.*Y+C(4)*X+C(5)*Y +C(6);          
C0=C;
while 1
    r = z-Z;
    w = tanh(r)./r;                                             %權重函數
    W=diag(w);
        
    C=inv(XX'*W*XX)*XX'*W*YY;                                   %加權最小二乘
    z=C(1)*X.^2+C(2)*Y.^2+C(3)*X.*Y+C(4)*X+C(5)*Y +C(6);        %擬合結果

    if norm(C-C0)<1e-10
        break;
    end
    C0=C;
end

z=C(1)*x.^2+C(2)*y.^2+C(3)*x.*y+C(4)*x+C(5)*y +C(6);           %擬合結果
mesh(x,y,z)