AI筆記: 數學基礎之偏導數與方向導數

在一個多變量的函數中，偏導數就是關於其中一個變量的導數而保持其他變量恆定不變。
假定二元函數 $z=f(x,y)$ , 點(x_0, y_0)是其定義域內的一個點，將y固定在 $y_0$ 上，而x在 $x_0$ 上增量 $\triangle x$ ,
相應的函數z有增量 $\triangle z = f(x_0 + \triangle x, y_0) - f(x_0, y_0)$
$\triangle z$ 和 $\triangle x$ 的比值當 $\triangle x$ 的值趨近於0的時候，如果極限存在，那麼此極限稱爲函數 $z=f(x,y)$ 在 $x_0,y_0$ 處對x的偏導數(partial derivative),
記爲： $f'_x(x_0, y_0)$
對x的偏導數： $\left.\frac{\partial f}{\partial x} \right|_{x=x_0, y=y_0}$
對y的偏導數： $\left.\frac{\partial f}{\partial y} \right|_{x=x_0, y=y_0}$

對於三元函數 $u = f(x,y,z)$ 可類似求偏導數，定義u在點 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 分別對x,y,z的偏導數
- $f_x'(x_0, y_0, z_0) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x_0 + \triangle x, y_0, z_0) - f(x_0, y_0, z_0)}{\triangle x}$
- $f_y'(x_0, y_0, z_0) = \lim_{\triangle y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \triangle y, z_0) - f(x_0, y_0, z_0)}{\triangle y}$
- $f_z'(x_0, y_0, z_0) = \lim_{\triangle z \to 0} \frac{f(x_0, y_0, z_0 + \triangle x) - f(x_0, y_0, z_0)}{\triangle z}$
偏導數是多元函數對其中某一個自變量(其餘自變量視爲常量)的變化率

案例

求 $z=x^2 + 3xy + y^2$ 在點(1,2)處的偏導數
解法1：
- $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 3y$
- $\frac{\partial z}{\partial y} = 3x + 2y$
- $\left.\frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1,2)} = 2*1 + 3*2 = 8$
- $\left.\frac{\partial z}{\partial y} \right|_{(1,2)} = 3*1 + 2*2 = 7$
解法2：
- $\left. z \right|_{y=2} = x^2 + 6x + 4$
- $\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1,2)} = \left. (2x+6) \right|_{x=1} = 8$
- $\left. z \right|_{x=1} = 1 + 3y + y^2$
- $\left. \frac{\partial z}{\partial y} \right|_{(1,2)} = \left. (3+2y) \right|_{y=2} = 7$

1 ） 二階偏導

2 ) 類似可以定義更高階的偏導數

$z=f(x,y)$ 關於x的三階偏導數爲： $\frac{\partial^3 z}{\partial x^3} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial^2 z}{\partial x^2})$
$z=f(x,y)$ 關於x的n-1階偏導數，再關於y的一階偏導數爲： $\frac{\partial^n z}{\partial x^{n-1} \partial y} = \frac{\partial z}{\partial y} (\frac{\partial^{n-1}z}{\partial x^{n-1}})$
定義：二階及以上的偏導數統稱爲高階偏導數

1 ）向量

向量：是指具有n個相互獨立的性質(維度)的對象的表示,向量常使用字母+箭頭的形式進行表示，也可以使用幾何座標來表示向量, 比如： $\vec{a} = \vec{OP} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ , 可以用座標(i,j,k)表示向量a
向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，向量座標到原點的距離，常記爲： $|a|$
單位向量：長度爲一個單位(即模爲1)的向量叫做單位向量

備註：圖片託管於github，請確保網絡的可訪問性

2 ) 向量的運算

設兩向量爲： $\vec{a} = (x_1,y_1), \vec{b} = (x_2, y_2)$ , 並且a和b之間的夾角爲: $\theta$
數量積：兩個向量的數量積(內積、點積)是一個數量/實數，記爲： $\vec{a} · \vec{b}$
- $\vec{a} · \vec{b} = |\vec{a}| * |\vec{b}| * cos \theta$
向量積：兩個向量的向量積(外積、叉積)是一個向量, 記爲： $\vec{a} × \vec{b}$ . 向量積即兩個不共線的非零向量所在平面的一組法向量
- $|\vec{a} × \vec{b}| = |\vec{a}| * |\vec{b}| * sin \theta$
- 乘積的模爲兩個向量平移後組成的平行四邊形的面積
- 法向量方向爲兩個向量所組成平面的垂線方向
知道兩個向量，就可以求出兩個向量的夾角 $\theta$
- $cos \theta = \frac{\vec{a} \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} * \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

3 ） 正交向量

4 ） 向量的方向角以及方向角的餘弦

設在一個三維座標軸下有一個向量 $\vec{a} = \vec{OA}$ 與x,y,z軸所成的夾角分爲 $\alpha, \beta, \gamma$ , 這些就是方向角
$cos \alpha = \frac{x_0}{|\vec{OA}|}$ ，其中， $x_0$ 是該向量映射到x軸的長度
$cos \beta = \frac{y_0}{|\vec{OA}|}$ ，其中， $y_0$ 是該向量映射到y軸的長度
$cos \gamma = \frac{z_0}{|\vec{OA}|}$ ，其中， $z_0$ 是該向量映射到z軸的長度
可見， $cos^2 \alpha + cos^2 \beta + cos^2 \gamma = 1$

5 ） 方向導數

定義：若函數 $f(x,y,z)$ 在點 $P(x,y,z)$ 處沿方向l(方向角爲： $\alpha, \beta, \gamma$ ), 其中 $\rho = |PP'|$ , 存在下列極限
$\lim_{\rho \to 0} \frac{\triangle f}{\rho} = \lim_{\rho \to 0} \frac{f(x + \triangle x, y + \triangle y, z + \triangle z) - f(x,y,z)}{\rho} = \frac{\partial f}{\partial l}$
其中， $\rho = \sqrt{(\triangle x)^2 + (\triangle y)^2 + (\triangle z)^2}$ , $\triangle x = \rho cos \alpha$ , $\triangle y = \rho cos \beta$ , $\triangle z = \rho cos \gamma$
則稱 $\frac{\partial f}{\partial l}$ 爲函數在點P處沿方向l的方向導數

備註：圖片託管於github，請確保網絡的可訪問性