多元函數
1 ) 概念
- 設D爲一個非空的n 元有序數組的集合,f爲某一確定的對應規則。
- 若對於每一個有序數組 ( x1,x2,…,xn)∈D,通過對應規則f,都有唯一確定的實數y與之對應,則稱對應規則f爲定義在D上的n元函數。
- 記爲y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 變量x1,x2,…,xn稱爲自變量,y稱爲因變量。
- 當n=1時,爲一元函數,記爲y=f(x),x∈D,當n=2時,爲二元函數,記爲z=f(x,y),(x,y)∈D。二元及以上的函數統稱爲多元函數。
更好的理解,可以通過二元函數、三元函數的定義 作如下表述
- 設D是平面上的一個點集,如果對於每個點P(x,y)∈D
- 變量z按照一定的法則總有確定的值和它對應
- 則稱z是變量x,y的二元函數,記爲z=f(x,y) (或 記爲 z=f(P))
- 類似地可定義三元及以上函數
- 當n≥2時, n元函數統稱爲多元函數
- 多元函數中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念
2 ) 例子
- 圓柱體的體積:V=πr2h, {(r,h)∣r>0,h>0}
- 定量理想氣體的壓強:p=VRT {(V,T),∣V>0,T>T0} (R爲常數)
- 三角形面積的海倫公式
- p=2a+b+c
- S=p(p−a)(p−b)(p−c) {(a,b,c)∣a>0,b>0,c>0,a+b>c}
二元函數z=f(x,y)的圖形
- 設函數z=f(x,y)的定義域爲D, 對於任意取定的P(x,y)∈D, 對應的函數值爲 z=f(x,y), 這樣,以x爲橫座標、y爲縱座標、z爲豎座標, 在這個三維空間就確定一點M(x,y,z)
- 取遍D上的一切點(x,y)時,的一個空間點集 {(x,y,z)∣z=f(x,y),(x,y)∈D}, 這個點集稱爲二元函數的圖形
- 如下圖,二元函數的圖形通常是一張曲面
備註:圖片託管於github,請確保網絡的可訪問性
例子
- (1) 二元函數z=1−x2−y2定義域爲圓域 {(x,y)∣x2+y2≤1}, 圖形爲中心在原點的上半球面
備註:圖片託管於github,請確保網絡的可訪問性
- (2) z=sin(xy),(x,y)∈R2 說明:二元函數 z=f(x,y),(x,y)∈D的圖形一般爲空間曲面Σ
備註:圖片託管於github,請確保網絡的可訪問性
- (3) 三元函數 u=arcsin(x2+y2+z2) 定義域爲單位閉球體 {(x,y,z),∣x2+y2+z2≤1}, 圖形爲四維空間中的超曲面
多元函數的極限
一元函數的極限
- 若∀ε>0, ∃δ>0
- 當點 x∈U˚(x0,δ)時,f(x)∈U(a,ε), 即 ∣f(x)−a∣<ε
- 則稱 limx→x0f(x)=a
多元函數的極限
- 設二元函數f(P)=f(x,y)的定義域爲D, P0(x0,y0)是其聚點.
- 如果存在常數A, ∀ε>0, 總存在正數δ
- 使得在P0的空心δ鄰域內的一切點P(x,y)都成立 ∣f(P)−A∣=∣f(x,y)−A∣<ε
- 則稱常數A爲函數f(x,y) 當(x,y)→(x0,y0) 時的極限,記爲
- limx→x0,y→y0f(x,y)=A 或 f(x,y)(x,y)→(x0,y0)→A, 也記作
- limP→P0f(P)=A 或 f(P)→A(P→P0)
- 二元函數的極限也稱爲二重極限
例子
- 設f(x,y)=(x2+y2)sinx2+y21 (x2+y2=0), 求證 limx→0,y→0f(x,y)=0
- 分析:
- 因爲 ∣(x2+y2)sinx2+y21−0∣≤x2+y2<ε
- 所以 ∀ε>0, ∃δ=ε, 當 0<ρ=x2+y2<δ時,
- 總有 ∣f(x,y)−0∣≤x2+y2<δ2=ε
- 故:limx→0,y→0f(x,y)=0