複習概率論之基礎(聯合概率與條件概率）1

聯合概率

   所謂聯合概率就是把兩個事務關聯起來，他們的各個狀態組合的概率分別是多少
經典的例子有拋硬幣和擲色子的組合
x爲色子擲出的點數，y=0意味着硬幣正面朝下，反之y=1

	x=1	x=2	x=3	x=4	x=5	x=6
y=1	1\12	1\12	1\12	1\12	1\12	1\12
y=0	1\12	1\12	1\12	1\12	1\12	1\12

當兩個事件互不影響的時候，即可滿足下列公式

P(x=1) = P(x=1 ,¹ y=1) + P(x=1 ,¹y=0)

則我們可以推導出
x ∈ A , y ∈ B
P(x=a) = ∑² [B] P(x=a,y=b)
把關於x=a的所有聯合概率相加可得x=a的概率

條件概率

   條件概率意味着在發生某事件的前提下，另一個事件的發生概率爲多少，如果說聯合概率的關聯符號是 ,¹,那麼條件概率的關聯符號則是 |³

舉個例子
我現在手上有16張撲克牌分別爲

J	J	A	2
3	4	K	K
Q	A	3	4
5	J	Q	K

現在這16張牌裏面，顯而易見的是(直接數出來)，P(X=字母)=10/16=5/8，P(Y=紅色)=9/16
   那麼我們首先求出他們的聯合概率爲（例如：P(x=字母,y=紅色) = 紅色字母數/16）

	x=字母	x=數字
y=紅色	3/8	3/16
y=黑色	1/4	3/16

我們可以看出 P(x=字母,y=紅色)=3/8，那麼以y=紅色爲前提下的x=字母的概率是多少呢
P(x=字母 |³y=紅色)= 6/9 = 2/3（紅色字母/紅色卡牌數）
P(y=紅色 |³x=字母)= 6/10 = 3/5 （紅色字母卡牌數/字母卡牌數）
這時，發現了一件有趣的現象，
P(x=字母,y=紅色) = P(x=字母 |y=紅色) *P(Y=紅色) = 2/3 * 9/16=3/8
P(x=字母,y=紅色) = P(y=紅色 |x=字母) *P(x=字母) = 3/5 * 5/8 = 3/8

由此，我們可以得出條件概率相關的公式
P(X,Y) = P(X|Y) * P(Y)=P(Y|X) * P(X)

   現在我們再來深入思考一下，X(是字母還是數字)和Y(是紅色還是黑色)這兩個事件是否獨立呢？
我們再來回顧一下第一個經典的硬幣與色子的例子
P(x=硬幣朝上,y=色子擲出點數爲1） = P(x=硬幣朝上)*P(y=色子擲出點數爲1）= 1/12
同樣我們可以看到
P(x=字母,y=紅色) ≠ P(Y=紅色) * P(x=字母)

則可以得出，當兩個事件互不相關，互不影響時滿足公式
P(X,Y) = P(X) * P(Y)
結合條件概率的公式(P(X,Y) = P(X|Y) * P(Y)=P(Y|X) * P(X))可得
P(X|Y) = P(X) 或 P(Y|X) = P(Y)（X,Y互不相關）
當然，即使兩個事件有所關聯，也滿足聯合概率公式
x ∈ A , y ∈ B
P(x=a) = ∑² [B] P(x=a,y=b)

總結

  我覺的以上理論可以通過已有概率統計兩件事情之間的關聯程度，可以用於程序的判斷分析，也可通過直接判斷兩件事情之間是否關聯，套用公式直接得出相關概率

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1. 逗號在公式中代表着聯合 ↩︎ ↩︎ ↩︎

2. 求和符號，在一定區間內對該變量的所有計算結果進行求和 ↩︎ ↩︎

3. 分割符在公式中代表着條件，| 的前面是結果，後面是前提或者條件 ↩︎ ↩︎ ↩︎