題目
分析
這道題是CodeChef上難得一見的優美數論題，比那些（淨是中國人出的）喪心病狂的數據結構高到不知道哪裏去了。
題目基於兩個算法：第一個是Tonelli-Shanks算法，第二個是Shanks大步小步算法（這個Shanks是會玩的）。前者參見我的上一篇博文：http://blog.csdn.net/wmdcstdio/article/details/49862189，後者資料衆多，不再贅述。
Tonelli-Shanks算法是一個“開根號”的算法。即，給出奇素數p和某個a，它能在O(log^2p)內找到一個r，使得r^2=a (mod p)，或者判斷不存在這樣的r。而大步小步算法則是求“離散對數”的：給出a,b，求最小的非負整數n使得a^n=b (mod p)。
Tonelli-Shanks算法能幹什麼呢？首先可以求出模P意義下的“根號5”，即某個x使得x^2=5 (mod P，下略)，然後就能求出模P意義下的"(sqrt(5)+1)/2"，記爲y。
如此一來，我們可以把Fibonacci數列的通項公式寫成：
Fn=(1/x)*(y^n-(-1/y)^n)，其中的“除法”自然就是乘以乘法逆元的意思。
我們需要求出最小的非負整數n，使得Fn=c，把通項公式中的x乘過去，就是C*x=y^n-(-1/y)^n。
先假設n是偶數（n是奇數的情況非常類似，把它作爲練習留給讀者）。設C*x=d，我們的方程變成了：
d=y^n-1/(y^n).
在這裏就可以看出來我們要做什麼了，再寫開一點：
設u=y^n，則d=u-1/u，u^2-du-1=0，這是一個標準的一元二次方程！只是它是在模P意義下的。
怎麼解這個一元二次方程呢？
回想（實數系下）一元二次方程的求根公式，沒錯就是初中數學毒瘤題經常用的那個：(-b±sqrt(b^2-4ac))/2a，其中用到的操作無非加減乘除和開平方——這些操作，我們都能做！除法就是求逆元，開平方用Tonelli-Shanks。
於是我們得到了y^n的值。現在問題變成了：求最小的非負偶數n，使得y^n=u，當然可能的u有兩個，即二次方程的兩個根。
怎麼解決“偶數”的問題呢？用Tonelli-Shanks把u開平方即可。當然你也可以先不管奇偶求一個n，然後再求y對P的階數，試圖累加。
如果你想這麼做，還可以繼續優化常數。這道題的主要複雜度來自於大步小步算法，可以主要由它下手：先把所有的u求出來，在一次大步小步算法中同時求解；以及把大步小步算法的map換成哈希表，都能有效減少常數。
代碼：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
//取模,返回非負數
LL realmod(LL a,LL M){
a%=M;
if(a<0) a+=M;
return a;
}
//快速冪,用普通乘法實現
LL quickpow(LL a,LL n,LL M){
a=realmod(a,M);
LL ans=1;
while(n){
if(n&1) ans=ans*a%M;
a=a*a%M;
n>>=1;
}
return ans;
}
//乘法逆元
LL inverse(LL a,LL p){//a對p的乘法逆元,p是素數
return quickpow(a,p-2,p);
}
//勒讓德符號
LL Legendre_symbol(LL a,LL p){//p是奇素數
//1代表a是平方剩餘,-1代表a不是平方剩餘,0代表a=0
//a^((p-1)/2)
LL flg=quickpow(a,(p-1)/2,p);
if(flg==0||flg==1) return flg;
if(flg==p-1) return -1;
}
//模意義平方根
LL sqrt_mod(LL n,LL p){//解方程組x^2=n(mod p),Tonelli-Shanks算法,p是奇素數
n=realmod(n,p);//保證n非負
//返回方程的一個根
if(Legendre_symbol(n,p)!=1) return -1;//無解
LL S=0,Q=p-1;
while(!(Q&1)){
S++;
Q>>=1;
}
//現在Q是奇數,p-1=Q*2^S
LL z;//選擇一個二次非剩餘z
while(true){
z=rand()%p;//隨機一個數,這個rand有可能太小,不知道會不會出問題
if(Legendre_symbol(z,p)==-1) break;
}
LL c=quickpow(z,Q,p),R=quickpow(n,(Q+1)/2,p),t=quickpow(n,Q,p),M=S,i,tmp,b;
while(true){
if(t==1) return R;
for(i=0,tmp=t;tmp!=1;i++,tmp=tmp*tmp%p);
b=quickpow(c,1LL<<(M-i-1),p),R=R*b%p,c=b*b%p,t=t*c%p,M=i;
}
}
//二次同餘方程
bool quadratic_mod(LL a,LL b,LL c,LL p,LL &x1,LL &x2){//解同餘方程ax^2+bx+c=0(mod p),p是奇素數
a=realmod(a,p),b=realmod(b,p),c=realmod(c,p);
LL dlt=realmod(b*b%p-4*a%p*c%p,p);
LL sd=sqrt_mod(dlt,p);
if(sd==-1) return false;//無解
LL inv2a=inverse(2*a,p);
x1=realmod((-b+sd)%p*inv2a,p);
x2=realmod((-b-sd)%p*inv2a,p);
return true;
}
//擴展歐幾里得算法
void extend_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y,LL &d){
if(b==0){d=a;x=1;y=0;}
else{extend_gcd(b,a%b,y,x,d);y-=(a/b)*x;}
}
vector<pair<LL,LL> > suspects;
LL C,P,ans;
void update(LL n){
if(ans==-1||n<ans) ans=n;
}
const int HSIZE=3233983;
class Node{
public:
int s;
LL a;
int nxt;
};
class Hash_Map{
public:
int head[HSIZE];
Node lis[HSIZE];
int tot;
void clear(void){
memset(head,0,sizeof(head));
tot=0;
}
bool count(int s){
int key=s%HSIZE;
for(int x=head[key];x;x=lis[x].nxt){
if(lis[x].s==s) return true;
}
return false;
}
LL& operator [] (int s){
int key=s%HSIZE,x;
for(x=head[key];x;x=lis[x].nxt){
if(lis[x].s==s) return lis[x].a;
}
lis[++tot]=(Node){s,-1,head[key]};
head[key]=tot;
return lis[tot].a;
}
};
Hash_Map base;
//求離散對數,大步小步算法
void dclog(LL a,LL MOD){//求解方程:a^x=b(mod MOD),返回最小解,無解返回-1
//採用大步小步法
a=realmod(a,MOD);
base.clear();
LL m=(LL)sqrt(MOD+0.5),e=1,i,v;
v=inverse(quickpow(a,m,MOD),MOD);
base[1]=0;
for(i=1;i<m;i++){
e=(e*a)%MOD;
if(!base.count(e)) base[e]=i;
}
for(i=0;i<=MOD/m;i++){
for(LL j=0;j<suspects.size();j++){
LL &b=suspects[j].first;
if(base.count(b)){
update((i*m+base[b])*2+suspects[j].second);
}
b=(b*v)%MOD;
}
}
}
void test_even(LL y,LL u){//y^n=u(mod P),n爲偶數
LL v=sqrt_mod(u,P),m;
if(v==-1) return;
suspects.push_back(make_pair(realmod(v,P),0));
suspects.push_back(make_pair(realmod(-v,P),0));
}
void test_odd(LL y,LL u){//y^n=u(mod P),u爲奇數
LL v=sqrt_mod(u*inverse(y,P),P),m;
if(v==-1) return;
suspects.push_back(make_pair(realmod(v,P),1));
suspects.push_back(make_pair(realmod(-v,P),1));
}
void work(void){
LL x=sqrt_mod(5,P);//根號5
LL y=realmod((x+1)*inverse(2,P),P);
ans=-1;
suspects.clear();
LL d=C*x%P,u1,u2;
//y^n-(-1/y)%n=d
//情況1:n是偶數
if(quadratic_mod(1,-d,-1,P,u1,u2)){
test_even(y,u1);
test_even(y,u2);
}
//情況2:n是奇數
if(quadratic_mod(1,-d,+1,P,u1,u2)){
test_odd(y,u1);
test_odd(y,u2);
}
dclog(y,P);
printf("%lld\n",ans);
}
int main(void){
freopen("fn.in","r",stdin);
freopen("fn.out","w",stdout);
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%lld%lld",&C,&P);
work();
}
return 0;
}