【你也能看得懂的電磁場與電磁波系列連載 19】

在上一個連載裏面，我們介紹了散度的定義，最後給出了矢量微分算子和散度的關係：

但是，爲什麼這個表達式可以成立呢？今天我們來證明一下（以直角座標系爲例）

注：今天的連載涉及的公式較多，實在不能理解可以跳過，不影響後續的閱讀。

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我們看下面這個矩形：

我們看這個長方體的最左下角的頂點 $M$，定義 $M(x, y, z)$，長方體的長寬高分別是 $△y, △x, △z$

在 $M$ 點處的矢量爲：$\overrightarrow{A} = A_x\overrightarrow{a_x}+A_y\overrightarrow{a_y}+A_z\overrightarrow{a_z}$ 這裏特別注意：$A_x, A_y,A_z$都是 $(x,y,z)$ 三者的函數！

我們下面先看看長方體前面的通量：$\oiint_{S1}\overrightarrow{A}\sdot \overrightarrow{a_{front}} dS = \oiint_{S1}A_xdS = A_x(x+△x, y, z)△y△z$
下面，我們回憶一下泰勒公式是怎麼用的，下面是 $f(x)$ 在 $x_0$ 處的泰勒展開：$f(x) = \frac{f(x_0)}{0!} + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots$
那麼，類似地使用變量代換，將上式的 $x$ 代換成 $x+△x$，$x_0$ 換成 $x$，$f()$函數使用 $A_x()$替換，得：$A_x(x+△x,y,z) =A_x(x,y,z)+\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 A_x(x,y,z)}{\partial x^2}△x^2+\cdots$
因此，我們可以得到一個近似表達：$A_x(x+△x,y,z) ≈ A_x(x,y,z)+\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x$

因此，前面的淨通量就近似表示成：$\oiint_{S1}\overrightarrow{A}\sdot \overrightarrow{a_{front}} dS ≈A_x(x,y,z)△y△z+\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x△y△z$
那麼，我們再看看後面得通量：由於 $A_x\overrightarrow{a_x}$ 的方向是沿着 $x$ 軸的正方向，因此與 $\overrightarrow{a_{back}}$ 的方向相反，那麼得到的通量結果是：$\oiint_{S2}\overrightarrow{A}\sdot \overrightarrow{a_{back}} dS = -A_x(x,y,z)△y△z$

那麼，我們就可以得到前後兩個面的淨通量：$\begin{aligned} Φ_{front} + Φ_{back} &= A_x(x,y,z)△y△z+\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x△y△z - A_x(x,y,z)△y△z\\ &=\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x△y△z \end{aligned}$

那麼，如果我們求出前後左右上下六個面的淨通量，就可以表示成：$Φ_{total} = \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x△y△z + \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y}△x△y△z + \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z}△x△y△z$
令體積微元 $△V = △x△y△z$，因此得到閉合曲面淨通量表達式：$Φ_{total} = \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△V + \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y}△V + \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z}△V$
把它重新帶入散度的定義式，我們就可以得到散度的計算公式：$\begin{aligned} div\overrightarrow{A} &= \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x} + \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y} + \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z}\\ &=\frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} = ▽\overrightarrow{A} \end{aligned}$

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有了上面的證明，我們可以理直氣壯地寫出 $Maxwell$ 方程中描述靜電場公式的微分形式啦：

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那麼我們想想 $Maxwell$ 方程中描述磁場的那個式子：

這不也是一樣的形式嘛，只要是描述通量的，那麼在微分形式裏面我們就可以用散度描述他們：

那麼至此，我們已經瞭解了對於閉合曲面積分的這種形式如何用微分形式描述——通過散度，那麼我們知道 $Maxwell$ 方程裏面還有閉合的線積分，那閉合線積分應該如何用微分形式描述呢？我們下一個連載好好說說。