並查集及代碼實現

1. 並查集

1.1 並查集的概念

並查集也是一種數據結構，主要有兩個操作，集合的合併，判斷兩個元素是否屬於同一個集合，是一種邏輯結構。

1.2 並查集的實現思路

並查集的底層實現有多重方式，可以使用數組、List、樹等等，選擇的依據是哪種實現方式可以讓操作的複雜度小。可以使用一種特殊的樹來實現並查集如圖，每一個結點都有一個父結點，最後一個結點的父節點指向自己，也是這個集合的代表結點，判斷兩個元素是否屬於同一個集合，就是判斷這兩個元素所在集合的代表結點是否相等，合併兩個集合，讓結點數少的集合，掛載結點數多的代表結點的下面。

具體實現時，可以使用Map，使操作更簡單。

1.3 代碼

public class Code_09_UnionFind {
    
    public static class Node{
		// whatever you like
    }

    public static class DisjointSets{
        //定義兩個Map,fatherMap<Node, fatherNode>, 存儲結點和他的父節點，sizeMap<Node, Integer>
        //存儲結點和以這個結點爲父節點的結點個數，並且，只有當這個結點是代表結點的時候，sizeMap中的
        //value值纔有意義
        public Map<Node, Node> fatherMap;
        public Map<Node, Integer> sizeMap;

        public DisjointSets(List<Node> list){
            fatherMap = new HashMap<>();
            sizeMap = new HashMap<>();
            makeSets(list);
        }

        //初始化並查集，使用並查集的條件是，必須要知道所有元素
        //開始的時候，每個結點的父節點都是自己。
        public void makeSets(List<Node> list){
            fatherMap.clear();
            sizeMap.clear();
            for(Node node : list){
                fatherMap.put(node, node);
                sizeMap.put(node, 1);
            }
        }

        //根據一個元素，查找這個元素所在的集合的代表結點，並且，將這個集合壓縮，就是從這個結點
        //到代表結點之間的所有節點的父節點，都指向代表結點
        public Node findFather(Node node){
            Node father = fatherMap.get(node);
            if(father != node){
                //這裏使用的是遞歸，如果node的父節點不是father，就找父節點的父節點，直到找到
                //代表結點，node是一直在變的
                father = findFather(father);
            }
            //找到代表結點之後，將每個結點的父節點設爲代表結點
            fatherMap.put(node, father);
            //返回father
            return father;
        }

        //判斷兩個元素是否屬於同一個集合
        public boolean isSameSet(Node node1, Node node2){
            return findFather(node1) == findFather(node2);
        }

        //合併兩個集合
        public void union(Node a, Node b){
            if(a == null || b == null) return;
            Node aFather = findFather(a);
            Node bFather = findFather(b);
            if(aFather != bFather){
                int aFatherSize = sizeMap.get(aFather);
                int bFatherSize = sizeMap.get(bFather);
                if( aFatherSize <= bFatherSize){
                    //如果a所在集合結點數少於b的，就將a的父節點設爲b的父節點，a掛載b後頭
                    fatherMap.put(aFather, bFather);
                    //修改個數
                    sizeMap.put(bFather, aFatherSize + bFatherSize);
                }else{
                    fatherMap.put(bFather, aFather);
                    sizeMap.put(aFather, aFatherSize + bFatherSize);
                }
            }
        }
    }
}

時間複雜度：假設有n個元素，如果查詢的次數（查找代表結點）加上合併的次數的數量級達到或者超過了O(n)，那麼，單次查詢或者單次合併，平均複雜度爲O(1)。證明過程很複雜，略。

如有不足之處，歡迎指正，謝謝！