顯式積分，隱式積分和彈簧質點系統（詳細公式推導和太極源碼）

本人初學者，零基礎入門（大二數學基礎），因此本教程還算比較舒適，但是也免不了有錯誤，還請批評指正。

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數值積分

數值積分，是用於求定積分的近似值的一種方法。在數學分析中，有很多計算給定函數的定積分是不可行的，而數值積分是利用黎曼積分等數學定義，用數值逼近的方法近似計算給定的定積分值。藉助計算機和編程，數值積分可以快速而有效地計算複雜的積分。

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歐拉方法

歐拉方法是一種數值積分方法，又稱爲歐拉折線法，是用折線來逼近曲線的一種方法。

例如$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$，可以轉化爲$y_{n+1}-y_n=f(x_n,y_n)h$，其中h則爲折線的步長。

由泰勒公式$y(x+h)=y(x)+y^{'}(x)h+o(h)$，可以看出歐拉公式實際上是泰勒公式的離散形式。很顯然，h越小，歐拉方法的結果越精確，h越大，結果越不精確。

但是h較大時，除了不精確之外，還會導致使用歐拉方法得到的值不收斂，即不穩定。

歐拉方法分爲顯式積分和隱式積分兩種形式，其中顯式積分條件穩定，隱式積分無條件穩定：

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彈簧質點系統

在清楚了數值積分的解決方法之後，我們使用它來解決一個最簡單的物理模擬問題——彈簧質點系統。

彈簧質點系統中主要有彈力和阻力。


總結彈力和阻力的計算公式如下：

$\left\{ \begin{array}{c} \LARGE f(x_a)_s=-k_s\frac{x_a-x_b}{||x_a-x_b||}(||x_a-x_b||-l) \\ \\ \LARGE f(x_a)_d=-k_d\frac{x_a-x_b}{||x_a-x_b||}(x_a^{'}-x_b^{'})·\frac{x_a-x_b}{||x_a-x_b||} \end{array} \right.$

顯式方法

$\left\{ \begin{array}{c} \LARGE f_t=\sum_{b=0}^n f(x_a)_s+\sum_{b=0}^nf(x_a)_d \\ \\ \LARGE v_{t+dt}=v_t+dt*\frac{f_t}{m} \\ \\ \LARGE x_{t+dt}=x_t+dt*v_t \end{array} \right.$

顯式方法直接實現即可。

隱式方法

$\left\{ \begin{array}{c} \LARGE v_{t+dt}=v_t+dt*\frac{f_{t+dt}}{m} \\ \\ \LARGE x_{t+dt}=x_t+dt*v_{t+dt} \end{array} \right.$

隱式方法需要進行特殊的推導。

由泰勒公式的一階展開，可以得到f的近似：

$\LARGE f_{t+dt}=f_t+\frac{∂f}{∂x}△x+\frac{∂f}{∂v}△v$

代入上式，可以求得△v的表示形式爲：

$\LARGE △v=v_{t+dt}-v_t=dt*\frac{f_{t+dt}}{m}$

$\LARGE △v=\frac{dt}{m}*(f_t+\frac{∂f}{∂x}△x+\frac{∂f}{∂v}△v)$

將△x也表示爲△v的式子：

$\LARGE △x=x_{t+dt}-x_t=dt*v_{t+dt}=dt*(v_t+△v)$

代入上式，消去△x：

$\LARGE △v=\frac{dt}{m}*(f_t+dt*\frac{∂f}{∂x}(v_t+△v)+\frac{∂f}{∂v}△v)$

展開括號：

$\LARGE △v=\frac{dt}{m}*f_t+\frac{dt^2}{m}\frac{∂f}{∂x}v_t+\frac{dt^2}{m}\frac{∂f}{∂x}△v+\frac{dt}{m}\frac{∂f}{∂v}△v$

移項：

$\LARGE △v-\frac{dt^2}{m}\frac{∂f}{∂x}△v-\frac{dt}{m}\frac{∂f}{∂v}△v=\frac{dt}{m}*f_t+\frac{dt^2}{m}\frac{∂f}{∂x}v_t$

整理：

$\LARGE (1-\frac{dt^2}{m}\frac{∂f}{∂x}-\frac{dt}{m}\frac{∂f}{∂v})△v=\frac{dt}{m}(f_t+dt*\frac{∂f}{∂x}v_t)$

別忘了我們操作的是一個矩陣：

$\LARGE (I-\frac{dt^2}{M}\frac{∂f}{∂x}-\frac{dt}{M}\frac{∂f}{∂v})△v=\frac{dt}{M}(f_t+dt*\frac{∂f}{∂x}v_t)$

兩邊乘以M：

$\LARGE (M-dt^2\frac{∂f}{∂x}-dt\frac{∂f}{∂v})△v=dt(f_t+dt*\frac{∂f}{∂x}v_t)$

解隱式積分需要求解上述的線性方程組，並解出△v。

其中$\frac{∂f}{∂x}$和$\frac{∂f}{∂v}$的計算方法在參考文獻中寫的很清楚，這裏直接給出結果：

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雅克比迭代

在隱式方法中，最終需要求解的線性方程組往往是一個巨大的稀疏矩陣，因此很難通過矩陣求逆的方式求解，這裏介紹最簡單的迭代求解線性方程組的方法——雅克比迭代。

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實例代碼

彈簧質點系統的顯式方法

彈簧質點系統的隱式方法

代碼由python語言以及taichi框架編寫而成。

單擊鼠標添加質點，相鄰質點自動添加彈簧，其中紅色彈簧表示伸長中，綠色彈簧表示收縮中。

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公式和求導部分參考
隱式方法推導部分參考
雅克比迭代部分參考