單應矩陣 基本矩陣 本質矩陣的區別與聯繫

1. 叉乘

2. 雙目系統

3. 對極幾何 (Epipolar Geometry)

對極幾何定義：是兩個視圖間的內部射影幾何，它只與攝像機的內部參數和相對位姿有關，與場景結構無關。

基線（baseline）：連接兩個攝像機光心的線。

兩個視圖的對極幾何的本質：描述圖像平面與一個平面(以基線爲旋轉軸的平面)的交叉幾何關係。

用途（對極約束：Epipolar Constraint）：在雙目匹配中，給定左圖的一個點，不必在整個右圖中搜索對應的點。“對極約束”把搜索空間縮減到一條線。

極點（Epipole）：基線與圖像平面的交叉點。即左圖的極點：是左攝像機看到右攝像機所在的位置；右圖的極點：是右攝像機看到左攝像機所在的位置。

對極平面（Epipolar Plane）：包含基線的平面

對極線（Epipolar Line）：對極平面與圖像平面的交叉線。所有的對極線相交於極點，且位於同一對極平面的對極線一一對應。

4. 本質矩陣 (Essential Matrix)-攝像機座標系

本質矩陣就是在歸一化圖像座標下的基本矩陣。不僅具有基本矩陣的所有性質，而且還可以估計兩相機的相對位置關係，具體內容可參考《計算機視覺中的多視圖幾何》。  

     本質矩陣和基本矩陣都是3x3矩陣，且編碼兩個視圖的對極幾何。

     在時間上，本質矩陣比基本矩陣先引入。基本矩陣是本質矩陣的推廣，本質矩陣與基本矩陣相比有：

     1）更少的自由度

     2）更多的功能特性

4.1 本質矩陣的作用

    1） 給定一個圖像上的一個點，被本質矩陣或基本矩陣相乘，其結果爲此點在另一個圖像上的對極線，在匹配時，可以大大縮小搜索範圍。

    2）可用於求R 和 T

4.2 推導過程

      在對極約束條(Epipolar Constraint)件下進行推導。

 

       R: Rotation    T: Translation

4.3 本質矩陣特性

    1) rank (E) = 2  (本質矩陣的秩爲2，非常重要)

    2)  本質矩陣僅依賴外部參數（Extrinsic Parameters) （R & T）決定。

    3) 使用攝像機（Camera）座標系

4.4 Longuet-Higgins方程

    

    上圖中的pr、pl爲camera座標系。

4.5 本質矩陣總結

    

     

5. 基本矩陣（Fundamental Matrix）- 像素座標系

    前提條件：左右圖像的光心位置不一樣。

5.1 推導過程

      本質矩陣使用攝像機座標系，通過相機的R & T即可描述。

      爲了使用圖像座標，必須考慮攝像機內部參數(Intrinsic parameters)

5.2 基本矩陣的特性

    1) rank (F) = 2  (基本矩陣的秩爲2，非常重要)

    2)  基本矩陣依賴內部和外部參數（Intrinsic and Extrinsic Parameters) （f, R & T）決定。

    3) 使用像素座標系

    4) F就是左邊圖像到右邊圖像的基本矩陣，從公式上可以看出基本矩陣是有方向的，右圖到左圖的基本矩陣就是F的轉置

    5) F矩陣是一個7個自由度的3*3矩陣(3*3矩陣本身9個自由度，因爲相差一個常數因子和行列式值爲0兩個條件，減掉2個自由度)，相差一個常數因子的意思是：kF(k!=0)也是基本矩陣，也就是說如果F是基本矩陣，那麼kF也是基本矩陣，所以基本矩陣不唯一，在相差一個倍數的前提下是唯一的，也就是我們可以固定矩陣中某一個非零元素的值，這樣自然少一個自由度。

   6) 屬性表

 

5.3 基本矩陣的作用

    1) 與本質矩陣類似，基本矩陣也告訴我們一個圖像中的像素如何與另一個圖像的極線相關聯。

        (像素座標系：像素-->極線)

    2) 三維重建和特徵匹配上

    3) 基本矩陣獨立於場景結構

    4) 它可由場景點在圖像中的對應關係進行計算，而不需要攝像機的內參和外參來進行計算。

    5) 相反，可以先求出F，然後根據F求出攝像機的外參(R, T)

5.4 本質矩陣與基本矩陣的比較

5.5 其它（來自MVG)

5. 單應矩陣(Homography Matrix)

5.1 Projective transformations

      2D projective geometry is the study of properties of the projective plane IP2 that are invariant under a group of transformations known as  projectivities. 

    

      A projectivity is also called a collineation (a helpful name), a projective transformation or ahomography: the terms are synonymous.

     單應矩陣實際就是個透視變換矩陣，純2D變換，我知道的只是用在了BA裏做爲一種約束條件而已。

6. 仿射變換（Affine Transformations）

7. 相似變換Similarity Transformations

8. Camera Matrix

本文轉載自：http://blog.csdn.net/myarrow/article/details/53434431