【圖論】最小生成樹

最小生成樹

生成樹

現在一張有n$n$ 個點的聯通無向圖G$G$
若G$G$ 的一個子圖是一顆包含所有點的樹
則稱這顆樹爲原圖G$G$ 的生成樹

簡單來說就是用n−1$n-1$ 條邊將所有點連起來，這些邊所形成的便是原圖的生成樹

最小生成樹

如果把每條邊加上邊權，生成樹的n−1$n-1$ 條邊的權值之和最小的被稱爲最小生成樹
舉個例子

其中的藍邊就是該圖的最小生成樹

最小生成樹算法

最常見的有Kruskal和Prim
由於Prim堆優化實在是不如Kruskal來的方便簡單，理解上也是Kruskal容易，所以直介紹Kruskal
Kruskal
生成樹既然是一棵樹，那麼肯定不存在迴路
這樣就可以把邊從小到大排序，之後依次循環往最小生成樹中加邊。
如果加入這條邊後樹中形成迴路，則不加此邊。
若樹中已含有n−1$n-1$ 條邊便停止循環，這時的樹就是最小生成樹。
其中判斷迴路可以用並查集來實現。
加入一條邊(u,v)$(u,v)$ 時
1. 如果u$u$ 和v$v$ 已經在同一個集合之中，便是形成迴路，不加此邊。
2. 否則增加此邊，將u$u$ ,v$v$ 合併。
主要代碼：

scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= m; i++)
        scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].w);
sort(edge + 1, edge + m + 1);
for(int i = 1; i <= m; i++)
    if(Union(edge[i].u, edge[i].v))
        addedge(edge[i].u, edge[i].v, edge[i].w);