如果對於任意的a1≤a2< b1≤b2,有m[a1,b1]+m[a2,b2]≤m[a1,b2]+m[a2,b1],那麼m[i,j]滿足四邊形不等式。
所以這是一個求(xuan)騙(xue)的東西。
定理
對方程
且s(i,j)表示m(i,j)取得最優值時對應的下標,有:
- 區間包含的單調性:如果對於i≤i’< j≤j’,有w(i’,j)≤w(i,j’),那麼說明w具有區間包含的單調性。
- 四邊形不等式:如果對於i≤i’< j≤j’,有w(i,j)+w(i’,j’)≤w(i’,j)+w(i,j’),我們稱函數w滿足四邊形不等式。
藍線長和≤紅線長和 定理一:如果上述的w函數同時滿足區間包含單調性和四邊形不等式性質,那麼函數m也滿足四邊形不等式性質。
定理二:假如m(i,j)滿足四邊形不等式,那麼s(i,j)單調,即s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)。
然後k的範圍就從 [ i , j ] 變成了[ s(i,j-1) , s(i+1,j) ],像這樣:
m[1,3]取s[1,2]和s[2,3],
m[2,5]取s[ 2,4]=3,s[3,5]=3,相當於直接取3。
(然後記s[2,5]=3)
少了一重循環!!!
完美解釋了OBST問題!!!
(其實就是套定理)
題目
NOI 1995 石子合併
(洛谷 P1880)
n<=100……如果n<=1000呢?
100的
環形的……也不懼……
但最大值不單調,不能用四邊形不等式
不過最大值可以兩個端點的最大者取得。
詳解
題解 by myself
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a[2005],sum[2005];
int fmi[2005][2005],fma[2005][2005],
smi[2005][2005];
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
a[i+n]=a[i];
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
smi[i][i]=i;
}
for(int i=1+n;i<=(n<<1);i++){
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
smi[i][i]=i;
}
for(int i=(n<<1)-1;i;i--)
for(int j=i+1;j<=(n<<1);j++){
int jc=0,tmp=0x3f3f3f3f;
fma[i][j]=max(fma[i][j-1],fma[i+1][j])+sum[j]-sum[i-1];
/*注意這句,
求最大值不能用四邊形不等式,
因爲最大值不滿足單調性,
但最大值有一個性質,
即總是在兩個端點的最大者中取到。
*/
for(int k=smi[i][j-1];k<=smi[i+1][j];k++){
int tt=fmi[i][k]+fmi[k+1][j]+(sum[j]-sum[i-1]);
if(tt<tmp){
tmp=tt;
jc=k;
}
}
smi[i][j]=jc;
fmi[i][j]=tmp;
}
int ama=0,ami=0x3f3f3f3f;
for(int i=1;i<=n;i++){
ama=max(ama,fma[i][i+n-1]);
ami=min(ami,fmi[i][i+n-1]);
}
printf("%d\n%d",ami,ama);
return 0;
}