關於歐拉函數及Sicily1085的解法

1. 數論中的歐拉函數複習

F(x): 1～x中與x互質的數的個數，稱爲歐拉函數

歐拉函數是積性函數，即F(x*y)=F(x)*F(y)，如果x和y互質

另外：F(x)=x-1，如果x是素數

F(x^p)=x^p-x^p-1=x^p-1*(x-1)

於是關於歐拉函數的求法如下：F(x)=F(x₁^p₁*x₂^p₂*...x_n^p_n)，然後採用上式求解

代碼如下：

long long emular(int x) { long long ans=x; int i; for (i=0; i<MAXV; i++) { if (prime[i]>sqrt(1.0*x)) { break; } if (x%prime[i]==0) { ans=ans/prime[i]*(prime[i]-1); while (x%prime[i]==0) { x/=prime[i]; } } } if (x>1) { ans=ans/x*(x-1); } return ans; }

2. 關於Sicily1085

給定一個數N，要求1～N之間的每個數與N的最大公約數之和

算法：枚舉每一個最大公約數i，求1～N之間與N的最大公約數是i的數的個數，設爲p個，於是答案加上i×p

         枚舉的時候因爲gcd(x,N)=i即等價於gcd(x/i,N/i)=1，於是等價於求解N/i的歐拉數，這樣枚舉i，加上i*(N/i)的歐拉數

參考代碼如下：

#include <stdio.h> #include <math.h> #include <string.h> const int MAXV = 1000020; //素數表範圍 bool flag[MAXV+1]; //標誌一個數是否爲素數 int prime[MAXV+1]; //素數表,下標從0開始 int size; //素數個數 long long emular(int x) { long long ans=x; int i; for (i=0; i<MAXV; i++) { if (prime[i]>sqrt(1.0*x)) { break; } if (x%prime[i]==0) { ans=ans/prime[i]*(prime[i]-1); while (x%prime[i]==0) { x/=prime[i]; } } } if (x>1) { ans=ans/x*(x-1); } return ans; } void genPrime(int max) { memset(flag, true, sizeof(flag)); for(int i = 2; i <= max / 2; i++) { if(flag[i]) { for(int j = i << 1 ; j <= max; j += i) { flag[j] = false; } } } for(int i = 2 ; i <= max; i++) { if(flag[i]) { prime[size++] = i; } } //printf("%d/n",prime[size-1]); } int main() { int n; long long i; genPrime(655370); while (scanf("%d",&n)!=EOF) { long long ans=0; for (i=1;i<=sqrt(n*1.0);i++) { if (n%i==0) { ans=ans+i*emular(n/i); if(n!=i*i) ans=ans+(n/i)*emular(i); } } printf("%lld/n",ans); } return 0; }