POJ 1061 青蛙的約會 (拓展歐幾里得)

青蛙的約會

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Description

兩隻青蛙在網上相識了，它們聊得很開心，於是覺得很有必要見一面。它們很高興地發現它們住在同一條緯度線上，於是它們約定各自朝西跳，直到碰面爲止。可是它們出發之前忘記了一件很重要的事情，既沒有問清楚對方的特徵，也沒有約定見面的具體位置。不過青蛙們都是很樂觀的，它們覺得只要一直朝着某個方向跳下去，總能碰到對方的。但是除非這兩隻青蛙在同一時間跳到同一點上，不然是永遠都不可能碰面的。爲了幫助這兩隻樂觀的青蛙，你被要求寫一個程序來判斷這兩隻青蛙是否能夠碰面，會在什麼時候碰面。 
我們把這兩隻青蛙分別叫做青蛙A和青蛙B，並且規定緯度線上東經0度處爲原點，由東往西爲正方向，單位長度1米，這樣我們就得到了一條首尾相接的數軸。設青蛙A的出發點座標是x，青蛙B的出發點座標是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，兩隻青蛙跳一次所花費的時間相同。緯度線總長L米。現在要你求出它們跳了幾次以後纔會碰面。 

Input

輸入只包括一行5個整數x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

輸出碰面所需要的跳躍次數，如果永遠不可能碰面則輸出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

思路：解二元方程(m-n)t+kL=y-x，t,k爲未知數，求最小正整數 t 值得解，利用拓展歐幾里得來求

上代碼：

/*
我們知道：若一組 < x, y > 是ax + by = c的一組解，那麼<x−b/d, y + a/d>也是方程的一組解，d
爲gcd(a,b)，這樣我們只需要讓解得的x不斷減b/d，直到再減就爲負數時，所得的x就是我們要的解。
等式ax+by=gcd(a,b)必有整數解，用拓展歐幾里得
*/
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mod 1e9+7
#define ll long long
#define maxn 200+10
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	ll t = exgcd(b, a%b, x, y);//最小公因數
	ll temp = x;
	x = y, y = temp - a / b*y;
	return t;
}
int main()
{
	//freopen("Text.txt", "r", stdin);
	ll x, y, m, n, L;
	while (~scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &x, &y, &m, &n, &L))
	{
		if (m == n)
			printf("Impossible\n");
		else
		{
			if (m < n)
				swap(m, n), swap(x, y);
			//(m-n)t+kL=y-x
			ll t, k;
			ll c = y - x;//c%d!=0無解,因爲解不是整數,c=c/gcd(m-n,L)+gcd(m-n,L)
			ll d = exgcd(m - n, L, t, k);
			if (c%d != 0)//是否有整數解，這時的解x-L/d=x-L,求最小的正整數=(x%L+L)%L,怕爲負數
				printf("Impossible\n");
			else
				printf("%lld\n", ((t*c / d) % L + L) % L);//之所以這樣做是怕t是負值
		}
	}
	return 0;
}