淺談擴展歐幾里得定理（附裴蜀定理）

                                關於擴展歐幾里得定理

  衆所周知，擴展歐幾里得定理是用來求形如(a,b,c皆爲整數)這樣的方程的一組解[注，僅是一組解]的定理

  它的原理比較複雜，本人學了挺久才懂了一點，這裏就不談了，擴歐的核心是它的思想，它的思想可以用來解決許多題

 該方程有解的條件 ：

   要使(a，b，c皆爲整數) 有解，我們設k=gcd(a,b)，可以將原方程寫成的形式

       a，b，b均爲整數

       k|c 即 gcd(a,b)|c          //  k|c數學裏爲  c%k=0

    由此可見，該方程有解的條件爲c%gcd(a,b)=0

  求解方法 ：

    由於是求解的一組解，在方程有解的條件下，我們可以考慮先求出的一組解，

    爲什麼這樣考慮呢，這樣子變化有什麼好處呢？當我們將原方程轉變爲這樣的方程之後，實際上我們求出的x與y並不是

    原方程的解，我們可以理解爲轉變後的方程的解爲x'與y'，實際上該方程是將原方程除以

    c/gcd(a,b)後所得到的，所以原方程的解爲那麼我們先求出

    原方程的解便只需乘以c/gcd(a,b)就能得到了

    另外說明，c=gcd(a,b)是原方程有解的最小情況，利用這個性質，裴蜀定理也就不難寫出來了

    那麼該如何求解呢？

    衆所周知(又是這個詞，詞窮)   gcd的寫法return b==0?a:gcd(b,a%b);(爲了節約篇幅強行壓縮)關鍵的一步就是

    gcd(a,b)==gcd(b,a%b)了，這個的成立性就不證明了，我們求解是需要利用到gcd的這個特性的

    我們可以得到這樣一個方程（這裏的%顯示不出來就用mod代替了），然後我們將gcd(b,a%b)中的b和a代入原方程

    那麼可以得到gcd(b,a%b) = bx+(a%b)y,注意，此時的x與y也不是原方程的解，也可以理解爲x',y'這樣子我們就可以得到

    （這裏是將gcd(a,b)的a，b反代入原方程），又因爲電腦中的取模運算a%b是等價於a-a/b*b的

    所以我們又可以將最後一個方程變成bx'+(a-a/b*b)y'，然後與第一個方程放在一起便有

    ,然後拆項移項，變成，最後便能得出這樣的轉移方程

    ，有了這樣的轉移方程，那麼我們可以遞歸地寫出代碼了，遞歸結束條件就是b==0時，此時的方程

    ax+by=gcd(a,b)，b==0，所以就是ax=a,那麼x=1，y=0

   

//已知a,b  求解  ax+by=1
void ex_gcd (int a,int b,int &x,int &y)
{
	if (b==0){x=1,y=0;return;}
	ex_gcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;
	x=y,y=tmp-a/by;
}
/*
 * 若求解  ax+by=c
 * △條件(是否有解) ： 滿足gcd(a,b)|c [c%gcd(a,b)==0]
 * 可以先求  ax+by=gcd(a,b)
 * 再將求得的x與y分別乘以c/gcd(a,b)
 */

    那麼擴展歐幾里得便講完了，下面說一下上文提到的裴蜀定理

    原題鏈接

  裴蜀定理

  題目描述

    給出n個數(A1...An)現求一組整數序列(X1...Xn)使得S=A1X1+...AnXn>0,且S的值最小

  輸入輸出格式

    輸入格式：

    第一行給出數字N,代表有N個數 下面一行給出N個數

     輸出格式：

    S的最小值

    我們可以將A1X1+A2X2+...+AnXn看成許多個ax+by，那麼我們要求的便是c的最小值，上文說過，c的最小值就是gcd(a,b)，所以我們只需求出所有的gcd便可

    附上代碼

   

#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int ans,n,t;
int gcd (int a,int b)
{
	return !b?a:gcd(b,a%b);
}
int main ()
{
	scanf("%d",&n);
	scanf("%d",&ans);//ans初始賦值爲第一個數
	while (--n){
		scanf("%d",&t);
		t=abs(t);
		ans=abs(gcd(ans,t));
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

    注，如若有誤或者哪裏講得不清楚，請聯繫本人更改或者在下方留言，謝謝啦~\(≧▽≦)/~