紅黑樹知識點小結

紅黑樹知識點小結

參考資料

1. @v_JULY_v. “25.Red-black tree(7)”.
2. @wikipedia. “Red–black tree”.

使用符號和術語：

N：當前操作的結點
P：當前結點N的父結點
U：當前結點N的叔結點
G：當前結點N的祖父結點，即父結點的父結點
left：當前結點是父結點的左孩子
right：當前結點是父結點的右孩子
A<-B：將B賦值到A

修復(restructure/rebalance)： 指通過旋轉和結點變色，使插入或刪除結點後的紅黑樹重新滿足基本的5個約束，修復算法只與位置和顏色相關而與結點鍵值大小無關

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平衡樹的旋轉

左旋

旋轉鏈的變化形似： \ -> /

右旋

旋轉鏈的變化形似： / -> \

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紅黑樹基本約束5點

1. 結點非紅即黑
2. 根結點必爲黑色
3. 葉結點NIL必爲黑色
4. 紅色結點的子結點必爲黑色(黑色結點的子節點可紅可黑)
5. 任一結點到其所在分支的各葉結點，每條路徑上的黑色結點數目相等

紅黑樹插入

注：該插入算法參考@v_JULY_v的博客,相對wiki較爲簡潔

概要和約束

1. 基本插入同AVL樹相似，AVL樹的修復操作是旋轉，但紅黑樹需要旋轉配合變色
2. 新插入的結點必爲紅色
3. 插入的結點作爲根結點時，直接變爲黑色
4. 插入結點作爲在黑色結點的子結點時，無須額外的修復操作

插入修復

情況：

1. N的P是紅色，U是紅色
2. N的P是紅色，U是黑色，P和N不同是right或不同是left
3. N的P是紅色，U是黑色，P和N同是right或同是left

插入修復算法要點：

• 對 1： P變黑色，U變黑色，G變紅色，N<-G，再次判斷情況進行修復

• 對 2：若P是left，則以N和P爲鏈,左旋，旋轉後，N <- N的left(即原本的P)，進入情況3；
  若P是right，則以N和P爲鏈,右旋，旋轉後，N <- N的right(即原本的P)，進入情況3

• 對 3：P變黑色，G變紅色，以P和G爲鏈，若P是left則右旋，否則左旋

圖示

注：N爲`left`和N爲`right`的情況均已畫出

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紅黑樹刪除

注：該刪除算法參考@Wikipedia,因爲覺得v_July_v寫的有點模糊

概要和約束

1.刪除修復時新增的符號：

D：最初需要被刪除的結點
M：替換用的結點（是D的 左子最右結點 或 右子最左結點）
C：M的子節點，若M無子節點，C爲任意一個葉子子節點；若M有1個子節點，則C爲該非葉子的子節點

2.在AVL數中，刪除分三種情況，記被刪除的結點爲 D 的話：

• 1) D無子節點；
• 2) D有1個子節點；

• 3) D有2個子節點；

  分別對應三種重新平衡操作：

• 1）用NULL替換；
• 2）用其唯一的子節點直接替換；
• 3）用D左子的最右結點替換

在紅黑樹中，有子節點特指有非葉子結點，即非空節點

3.出於效率考慮1，第3種情況時，實際上並沒有刪除D，而是用D左子的最右結點的數據覆蓋D的數據，真正被刪除的是D左子的最右結點（不會有右子），這樣就簡化成一個刪除無子節點或只有1個子節點的問題2

刪除操作的實質：M的數據覆蓋D的數據，刪除M，M的位置由C補上，因此D的顏色沒有改變

刪除修復

注：閱讀以下內容前務必閱讀 #概要

情況：

將C標記爲N，以下均以N爲left討論

• M是紅色，直接用N補上，結束刪除操作

• M是黑色，用N補上後，分以下6種情況：

  1. N是紅色
  2. N是黑色且是根節點
  3. N是黑色,S是紅色,P是黑色,
  4. N是黑色,S是黑色,S兩子節點均爲黑色
  5. N是黑色,S是黑色,S右子是黑色,左子是紅色
  6. N是黑色,S是黑色,S右子是紅色,左子顏色任意

刪除修復算法要點：

• 對1：把N染成黑色,直接結束
• 對2：直接結束
• 對3：P變紅色,S變黑色,把問題轉化爲S是黑色的情況,重新進入算法
• 對4：S變紅色,重新進入算法
• 對5：S變紅色,S左子變黑色,以S和S左子爲鏈,右旋,把問題轉化爲情況4,重新進入算法
• 對6：令S的顏色變爲P的顏色,P變黑色,S右子變黑色,以P和S爲鏈,左旋,算法結束

圖示

注：下圖只畫出了N爲`left`的情況，N爲`right`的情況參見wiki的代碼

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補充

• 葉結點爲NIL，不含數據，僅標記結束
• 紅黑樹並不完全平衡，其確保沒有一條路徑會比其他路徑長出倆倍，因而是接近平衡的

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/*
author: lyuavery
date: 07-22-1016
*/

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1. “Because merely copying a value does not violate any red–black properties, this reduces to the problem of deleting a node with at most one non-leaf child.”
   – – wikipedia ↩
2. “Once we have solved that problem, the solution applies equally to the case where the node we originally want to delete has at most one non-leaf child as to the case just considered where it has two non-leaf children.”
   – – wikipedia ↩