二維函數Z=g(X,Y)型，用卷積公式求概率密度，積分區域如何確定（上）

二維函數Z=g(X,Y)型，用卷積公式求概率密度，積分區域如何確定（上）

因爲關於二維隨機變量主題內容重要，難度大，例題多，最主要是積分區間的確定是難點，同時關聯卷積概念，求二維函數Z=g(X,Y)型，用卷積公式求概率密度，卷積公式容易，積分區間難以確定，所以分成上中下三篇博客寫。

一。問題的引入

有一大羣人，令X和Y分別表示一個人的年齡和體重，Z表示該人的血壓，並且已知Z與X,Y的關係爲 Z=g(X,Y), 如何通過X,Y的分佈確定Z的分佈？

二。公式

特殊類型 ：Z=X+Y，怎樣確定Z的分佈？如何求Z的概率密度？

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當X與Y相互獨立時， 就得到所謂的 卷積公式

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三。已知f(x,y)，如何計算Z=X+Y型的概率密度 及概率分佈 ？

根據理解或者根據上面的公式，我們知道 是將f(x,y)求一次積分， 是求二次積分，難點問題在於 如何確定積分區間？需要分成幾個區間 ?

對於Z=X+Y型的關係，假設對x求一次積分，得到
表示成
，

那麼我們要畫出一個 x--z的座標，確定積分區間

1）積分區間的左右兩邊，由x的上下區間決定
假設 x的區間在[a,b]之間,
那麼積分的左右邊界就是a到b

2）根據關係式
z=x+y， 由於座標系是x--z的關係，那麼y就是變常量
z的最小值：
z的最大值：
積分的上下邊界就是 到

因爲我們討論的f_{z}(z)是按照x積分：

所以按照x積分，積分區間就要分成三段：紅色區間，藍色區間，綠色區間

1) 紅色區間 ，

x積分區間= a 到 Z-Ymin

2) 藍色區間

x積分區間= Z-Ymax 到 Z-Ymin

3) 綠色區間

x積分區間= Z-Ymax 到 1

當x的a,b左右對稱時，中間藍色區間沒有，只有兩個積分區間：
紅色區間 和 綠色區間

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【例一】設(X,Y)的聯合密度函數爲

(1)問X,Y是否獨立？
(2)求Z=2X+Y的密度函數 和分佈函數

(3)求P{Z>3}

【解】
(1) 問X,Y是否獨立？
X,Y獨立的條件

所以

(2)求Z=2X+Y的密度函數 和分佈函數

(2.1)先求密度函數

Z=g(X,Y)=2X+Y

求
可以利用卷積公式

畫一個 x-z 的座標系

Z方向下限：
= 2X+0

Z方向上限：

參考書目：

張天德，葉宏 《星火燎原·概率論與數理統計輔導及習題精解》（浙大·第4版）第三章