一個符號化了的真值函項複合命題無論多麼複雜,不外乎就是有五個基本的真值函項聯結詞聯結而成,由五個基本的真值特徵表,我們可以構造任何複雜的真值函項複合命題的真值表。
一個推論的有效性,等於它是一個重言蘊含式。
∧∨¬→ ↔
一,重言式,重言蘊含式
- 命題舉例1 :重言式
(P∧Q→R)↔(P→(Q→R))
P | Q | R | (P | ∧ | Q | → | R) | ↔ | (P | → | (Q | → | R)) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||
1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | ||||||
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||||||
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||
0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||
0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||||||
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
可見,主聯結詞↔總是真,這種總是真的命題叫做邏輯真理。
邏輯真理:一個命題是重言式,當且僅當,該命題在所有真值指派下都是真的。
學邏輯學,掌握邏輯真理很重要,掌握邏輯真理越多,說話出錯的可能性越小。
實踐是檢驗真理的標準,對邏輯來說不成立。邏輯不需要實踐的檢驗,推論正確就永遠正確。
- 命題舉例2 :重言蘊含式
A↔B
A→B
(A↔B) → (A→B)
A | B | A↔B | A→B | (A↔B) → (A→B) |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
蘊含”→“的真值表,只有在前件真而後件假的時候才爲假。
(A↔B) → (A→B) 沒有出現前件真而後件假的情況,所以主聯結詞"→"的真值指派全部爲真。這叫重言蘊含。
(A↔B) → (A→B) 的真值表也說明了等值關係“↔”也包含蘊含”→“關係
重言蘊含:P重言蘊含Q,當且僅當,在任何真值指派下,並非P真而Q假。
重言蘊含等於說,不會出現前件真而後件假的情況。
重言蘊含等於說,主聯結詞 ”→“ 最後的真值結果爲重言式。
一個推論的最後(主聯結詞)就是一個蘊含式,所以一個有效的推論,就是一個重言蘊含式。
一個推論是有效的,當且僅當,在任何真值指派下,當前題爲真時,結論一定爲真。
一個推論是有效的,等於它是一個重言蘊含式。
一個重言蘊含式等於一個有效的推論。
證明一個推論的有效性,就等於證明它是一個重言蘊含式。
二,推論的一般模式
-
模式1:
因爲,所以
-
模式2:
如果,那麼
爲前提,C爲結論。
一個推論是有效的,當且僅當,在任何真值指派下,它都不會出現前提真而結論假的情況。
也就是說,它相應的模式2是一個重言蘊含式。
一個有效的推論,聯結詞爲”因爲,所以“,則它是一個重言蘊含。
三,短真值表方法
只針對模式2(模式1)的推論,即主聯結詞是最後的一個聯結詞,爲蘊含關係式 ”→"。
在蘊含關係式 ”→"中,只有前提真而結論假時,結論才爲假。(參見 邏輯學學習.3— 符號化與真值表(一) ) 找出結論爲假的那一行,看它是否成立,是否推出邏輯矛盾,如果推出邏輯矛盾,則“假”的結論不成立。就剩下全部都是”真“,那麼它就是一個重言蘊含式。
命題舉例
p→q
¬q
∴¬p
寫成模式2
(p→q)∧¬q →¬p
假設前提真而結論假,看看是否成立:
前提的主聯結詞是∧,要求前提的主聯結詞∧爲真,結論假,則要求結論¬p是假。
主聯結詞∧爲真,要求左右兩邊都是真。則右邊¬q爲真,左邊的(p→q),主聯結詞→爲真。既然¬q爲真,那麼q爲假,既然蘊含式爲真,後件爲假,那麼前件也必須是假。(參見 邏輯學學習.3— 符號化與真值表(一) 最後的真值表,蘊含“→”列)。
於是出現矛盾,結論中¬p爲假,推出前提要求p爲假,矛盾。於是這種情況不可能存在。
所以推論的最後蘊含式“→”不存在爲假的情況,證明它是一個重言蘊含式。
假設前提真而結論假,看是否成立
(p | → | q) | ∧ | ¬q | → | ¬p |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | 0 | ||||
0/矛盾 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
結果推出矛盾,p在結論要求是真,在前提推出假。
參考資料
《自然演繹邏輯導論》 陳曉平