邏輯學學習.3--- 命題邏輯 （一）：基本概念

演繹邏輯研究的一個基本分支就是命題邏輯，命題邏輯以命題爲最小單位。它主要是研究複合命題中的真值函項複合命題，怎樣由簡單命題推導出真值函項複合命題。

一，基本概念

• 符號邏輯 就是把日常語言中的邏輯符號化，然後進行研究。

• 命題邏輯 是符號邏輯的基本內容，另一個是謂詞邏輯。

  • 命題邏輯的最小單位是命題
  • 謂詞邏輯的最小單位是詞項

• 簡單命題 是不包含其他命題的命題。

• 複合命題 是包含其他命題的命題。命題邏輯的研究對象主要是複合命題。
  複合命題包含兩個基本成份：

  • 支命題

  • 聯結詞

    命題舉例：

    “如果天上下雨，那麼地上潮溼”

    “天上下雨”是一個支命題，是簡單命題，再分割就是詞項了。
    “地上潮溼”也是一個支命題，是簡單命題，再分割就是詞項。
    “如果…，那麼…"是聯結詞

• 真值函項複合命題 該複合命題的結果真值唯一地取決於其支命題的真值。
  也就是說由其支命題的真值唯一地推導出複合命題的真值。
  推導方法有真值表方法（包括短真值表方法）和自然演繹方法。

• 真值函項連接詞 構成真值函項複合命題的聯結詞
  命題舉例

  [命題例1]
  ”老王喫飯並且喝茶“

  [命題例1]是一個複合命題，而且是一個真值函項複合命題，連接詞是”並且“

  [命題例2]
  ”老王喫飯在喝茶之後“

  [命題例2]是一個複合命題，聯結詞是”在…之後“，但這不是一個真值函項複合命題，
  因爲支命題不能唯一確定複合命題。所以它的聯接詞”在…之後“不是真值函項聯接
  詞。

  [命題例3]
  ”老王懷疑劉某是個罪犯“

  [命題例3]雖然是一個複合命題，但是它的真值得不出，不知真假。所以它不是真值項複合命題。聯結詞”…懷疑…“不是真值函項聯結詞。

  可見在日常語言中，大部分的聯結詞都不是真值函項聯結詞。只有一小部分聯結詞是真值函項聯結詞。

二，邏輯學裏所研究的真值函項聯結詞只有五個，表示最基本的5種邏輯關係

∧ ∨ ¬ → ↔

• 1.合取 $\wedge$
  聯結詞是 ”並且“，”與“，“；”，“，” 表示同時發生。
  值得注意的是分號”；“ 與逗號 ”，“ 也代表“與”的關係，表示同時發生。

• 2.析取$\vee$
  聯結詞是“或”，“或者”。它的支命題是析取支。

• 3.否定 ¬
  聯結詞“並非”

  命題舉例:
  所有基本粒子都是可分的

  否定命題：
  並非所有基本粒子都是可分的

  否定命題也是複合命題，只不過其支命題只有一個

• 4.蘊含 →
  聯結詞是“如果…，那麼…”

  命題舉例:
  如果物體被加熱，那麼物體體積膨脹

  P→ Q
  P代表的支命題叫做前件，Q代表的支命題叫做後件

  值得注意的是它的真值表，只有前件真後件假，結果纔是假。其餘的結果都算真。

• 5.等值詞和等值命題 ↔
  聯結詞是“當且僅當”。

  命題舉例:
  一個人是中國公民，當且僅當，他具有中國國籍

  P↔ Q
  P代表的支命題叫做左支，Q代表的支命題叫做右支

• 五種邏輯關係真值表

P	Q	P∧ Q	P∨ Q	¬P	P→ Q	P ↔ Q
1	1	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1	0
0	0	0	0	1	1	1

參考資料

《自然演繹邏輯導論》 陳曉平