海明碼的理解計算

   

海明碼（Hamming Code）是一個可以有多個校驗位，具有檢測並糾正一位錯誤代碼的糾錯碼，所以它也僅用於信道特性比較好的環境中，如以太網中，因爲如果信道特性不好的情況下，出現的錯誤通常不是一位。

海明碼的檢錯、糾錯基本思想是將有效信息按某種規律分成若干組，每組安排一個校驗位進行奇偶性測試，然後產生多位檢測信息，並從中得出具體的出錯位置，最後通過對錯誤位取反（原來是1就變成0，原來是0就變成1）來將其糾正。

根據海明碼的糾錯原理，得出了：

                              m+k+1<=2^K

    其中：m表示有效的信息位數；k表示用於糾錯的位數。滿足了上面的公式，才能進行糾錯。

    舉例說明，假設有一組信息碼爲：1101 0111 0，如何計算海明碼？

一、確定糾錯用的冗餘位數

    M=9，那麼，9+k+1<=2^k，由此得出k=4，也就是說要在原始有效信息位填充4bit二進位。

二、冗餘填充位的計算

    4個bit的冗餘位按照海明碼的原理要填充在2ⁿ位上，即1、2、4、8……位上。由此得出如下的表格

將信息位與冗餘位間的關係整理成一張表格如下。

由此得出：

第1個冗餘位由3、5、7、9、11、13參與校驗

第2個冗餘位由3、6、7、10、11參與校驗

第4個冗餘位由5、6、7、12、13參與校驗

第8個冗餘位由9、10、11、12、13參與校驗

如果全部按偶校驗計算得出如下圖結果：

可以這樣理解：

第1bit位：B1⊕B3⊕B5⊕B7⊕B9⊕B11⊕B13=0⊕1⊕1⊕1⊕0⊕1⊕0=0

第2bit位：B2⊕B3⊕B6⊕B7⊕B10⊕B11 =0⊕1⊕0⊕1⊕1⊕1=0

第4bit位：B4⊕B5⊕B6⊕B7⊕B12⊕B13 =1⊕1⊕0⊕1⊕1⊕0=0

第8bit位：B8⊕B9⊕B10⊕B11⊕B12⊕B13 =1⊕0⊕1⊕1⊕1⊕0=0

我們稱上面的4個式子爲監督關係式。

也就是說，校驗與原有的信息做異或運算按偶校驗計算得出的結果全部是0 。

因此，這4個bit的冗餘位是：0011

三、信息校驗

假設有一位數據出錯了，我們這裏假設是第10位在傳輸過程中由1變成了0，出錯了，這樣上面的4個監督關係式就會發生變化，變成如下：

第1bit位：B1⊕B3⊕B5⊕B7⊕B9⊕B11⊕B13=0⊕1⊕1⊕1⊕0⊕1⊕0=0

第2bit位：B2⊕B3⊕B6⊕B7⊕B10⊕B11 =0⊕1⊕0⊕1⊕0⊕1=1

第4bit位：B4⊕B5⊕B6⊕B7⊕B12⊕B13 =1⊕1⊕0⊕1⊕1⊕0=0

第8bit位：B8⊕B9⊕B10⊕B11⊕B12⊕B13 =1⊕0⊕0⊕1⊕1⊕0=1

由此可以看出，1和4式沒有錯，而2和8出現了錯誤，由此B3、B6、B7、B10、B11、B9、B12、B13可能是出錯位，但是從1和4位可以看出正確的位是：B3、B5、B7、B9、B11、B13、B6、B12，從可能出錯的位中把正確的去掉，就剩下了B3、B6、B7、B10、B11、B9、B12、B13（紅色字是去掉的位），這樣就僅剩下第10位了，這樣我們把10進行反轉就得到了正確的信息了。

更簡單的方法是由高位往低位寫（即由第8位寫到第一位）結果是1010，轉換爲10進制數爲10，就是第10位出錯了

有這樣一道題：

使用海明碼進行前向糾錯，如果冗餘爲4位，那麼信息位最多可以用到多少位？假定碼字位a6  a5  a4  a3  a2  a1  a0,並且有下面的監督關係式：

S2=a2+a4+a5+a6

S1=a1+a3+a5+a6

S0=a0+a3+a4+a6

若S2S1S0=110，則表示出錯位是哪一位？

答案：可以用到11位；a5位出錯

寫得不好，請指教！！！！