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約瑟夫問題的來歷
據說著名猶太歷史學家 Josephus有過以下的故事：在羅馬人佔領喬塔帕特後，39 個猶太人與Josephus及他的朋友躲到一個洞中，39個猶太人決定寧願死也不要被敵人抓到，於是決定了一個自殺方式，41個人排成一個圓圈，由第1個人開始報數，每報數到第3人該人就必須自殺，然後再由下一個重新報數，直到所有人都自殺身亡爲止。然而Josephus 和他的朋友並不想遵從，Josephus要他的朋友先假裝遵從，他將朋友與自己安排在第16個與第31個位置，於是逃過了這場死亡遊戲。
17世紀的法國數學家加斯帕在《數目的遊戲問題》中講了這樣一個故事：15個教徒和15 個非教徒在深海上遇險，必須將一半的人投入海中，其餘的人才能倖免於難，於是想了一個辦法：30個人圍成一圓圈，從第一個人開始依次報數，每數到第九個人就將他扔入大海，如此循環進行直到僅餘15個人爲止。問怎樣排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。
*問題分析與算法設計
約瑟夫問題並不難，但求解的方法很多；題目的變化形式也很多。這裏給出一種實現方法。
題目中30個人圍成一圈，因而啓發我們用一個循環的鏈來表示。可以使用結構數組來構成一個循環鏈。結構中有兩個成員，其一爲指向下一個人的指針，以構成環形的鏈；其二爲該人是否被扔下海的標記，爲1表示還在船上。從第一個人開始對還未扔下海的人進行計數，每數到9時，將結構中的標記改爲0，表示該人已被扔下海了。這樣循環計數直到有15個人被扔下海爲止。
約瑟夫問題的一般形式：
約瑟夫問題是個有名的問題：N個人圍成一圈，從第一個開始報數，第M個將被殺掉，最後剩下一個，其餘人都將被殺掉。例如N=6，M=5，被殺掉的人的序號爲5，4，6，2，3。最後剩下1號。
假定在圈子裏前K個爲好人，後K個爲壞人，你的任務是確定這樣的最少M，使得所有的壞人在第一個好人之前被殺掉。
C++代碼示例:
#include<iostream>
using namespace std;
void main()
{
int n,m,a[101],k,i,j,num; //計數器是從1開始的,所以100個人用101
cout<<"請輸入參加遊戲的玩家人數(不超過100人):";
cin>>n;
cout<<"----------------------------------------"<<endl;
if(n>100)
{
cout<<"玩家太多,請重新登陸此程序!"<<endl;
return;
}
cout<<"輸入遊戲中要玩的數字:";
cin>>m;
cout<<"----------------------------------------"<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
{
a【i】=1;//注意百度百科裏不讓使用ASCII裏的方括號，這裏是中文字符集裏的方括號，
} j=0; k=0; for(i=1;i<=n;i++){ if(a【i】==1){ j=j+a【i】; if(j==m) { j=0; a【i】=0; k++; } if(k==n){ num=i; break; } } if(i==n) i=0; } cout<<"最後獲勝的玩家是第 "<<num<<" 號玩家!"<<endl; cout<<"----------------------------------------"<<endl; }
寫完密碼約瑟夫就想到原來看到約瑟夫問題的一個數學解法 很巧妙很簡單 不過只能推出最後一個出列的人
無論是用鏈表實現還是用數組實現都有一個共同點：要模擬整個遊戲過程，不僅程序寫起來比較煩，而且時間複雜度高達O(nm)，當n，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最後的勝利者的序號，而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規，實施一點數學策略。
爲了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：
問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。
我們知道第一個人(編號一定是(m-1) mod n) 出列之後，剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環（以編號爲k=m mod n的人開始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
並且從k開始報0。
現在我們把他們的編號做一下轉換：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
變換後就完完全全成爲了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k) mod n
如何知道(n-1)個人報數的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是一個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：
令f表示i個人玩遊戲報m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是f[n]
遞推公式
f[1]=0;
f=(f+m) mod i; (i>1)
有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f的數值，最後結果是f[n]。因爲實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1
由於是逐級遞推，不需要保存每個f，程序也是異常簡單：
c++
#include <stdio.h>
int main()
{
int n, m, i, s=0;
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d\n", s+1);
}
pascal
var n,m,i,s:integer;
begin
write('N M =');
read(n,m);
for i:=2 to n do
s:=(s+m) mod i;
writeln('The winner is ',s+1);
end.
這個算法的時間複雜度爲O(n)，相對於模擬算法已經有了很大的提高。算n，m等於一百萬，一千萬的情況不是問題了。可見，適當地運用數學策略，不僅可以讓編程變得簡單，而且往往會成倍地提高算法執行效率。
約瑟夫問題10e100版(from vijios)
描述 Description
n個人排成一圈。從某個人開始，按順時針方向依次編號。從編號爲1的人開始順時針“一二一”報數，報到2的人退出圈子。這樣不斷循環下去，圈子裏的人將不斷減少。由於人的個數是有限的，因此最終會剩下一個人。試問最後剩下的人最開始的編號。
輸入格式 Input Format
一個正整數n，表示人的個數。輸入數據保證數字n不超過100位。
輸出格式 Output Format
一個正整數。它表示經過“一二一”報數後最後剩下的人的編號。
樣例輸入 Sample Input
9
樣例輸出 Sample Output
3
時間限制 Time Limitation
各個測試點1s
註釋 Hint
樣例說明
當n=9時，退出圈子的人的編號依次爲：
2 4 6 8 1 5 9 7
最後剩下的人編號爲3
初見這道題，可能會想到模擬。可是數據實在太大啦！！
我們先拿手來算，可知n分別爲1，2，3，4，5，6，7，8...時的結果是1，1，3，1，3，5，7，1...
有如下規律：從1到下一個1爲一組，每一組中都是從1開始遞增的奇數，且每組元素的個數分別爲1，2，4...
這樣就好弄了！！
大體思路如下：
①read(a)
②b:=1,c:=1{b爲某一組的元素個數，c爲現在所加到的數}
③while c<a do (b:=b*2,c:=b+c){超過目標時停止加數}
⑥c:=c-b{退到前一組}
⑦x:=a-c{算出目標爲所在組的第幾個元素}
⑧ans:=x*2-1{求出該元素}
⑨write(ans)
有了思路，再加上高精度就可以了。我寫的代碼比較猥瑣，因爲是先把上面的思路敲進去，再寫過程，又把一些簡單的過程合到主程序中了，所以有點亂，也有點猥瑣。起提供思路的作用還是完全可以的吧~~~
var a,b,c:array[1..105]of integer;
la,lb,lc,i:integer;
s:string;
procedure incc;
var i:integer;
begin
for i:=1 to 105 do c:=c+b;
for i:=1 to 104 do if c>9 then
begin
c:=c+c div 10;
c:=c mod 10;
end;
end;
function cxiaoa:boolean;
var i:integer;
begin
cxiaoa:=false;
for i:=105 downto 1 do
if c<a then begin cxiaoa:=true;break;end
else if c>a then break;
end;
procedure doubleb;
var i:integer;
begin
for i:=1 to 105 do b:=b*2;
for i:=1 to 104 do if b>9 then
begin
b:=b+b div 10;
b:=b mod 10;
end;
end;
procedure decc;
var i,j:integer;
begin
for i:=1 to 104 do
if c>=b then c:=c-b else
begin
j:=i+1;
while c[j]=0 do inc(j);
while j>i do
begin
c[j]:=c[j]-1;
c[j-1]:=c[j-1]+10;
dec(j);
end;
c:=c-b;
end;
end;
procedure fua;
var i:integer;
begin
for i:=1 to 104 do
if a>c then a:=a-c else
begin
a:=a-1;
a:=a+10;
a:=a-c;
end;
end;
procedure outit;
var i,j:integer;
begin
for i:=1 to 105 do a:=a*2;
for i:=1 to 104 do if a>9 then
begin
a:=a+a div 10;
a:=a mod 10;
end;
if a[1]>0 then a[1]:=a[1]-1 else
begin
j:=2;
while a[j]=0 do inc(j);
while j>1 do
begin
a[j]:=a[j]-1;
a[j-1]:=a[j-1]+10;
dec(j);
end;
a[1]:=a[1]-1;
end;
for i:=105 downto 1 do if a>0 then begin j:=i;break;end;
for i:=j downto 1 do write(a);
end;
begin
readln(s);
la:=length(s);
for i:=la downto 1 do a:=ord(s[la+1-i])-ord('0');
b[1]:=1;
c[1]:=1;
while cxiaoa do
begin
doubleb;
incc;
end;
decc;
fua;
outit;
end.
約瑟夫問題的另外一個有名的例子：
猴子選大王
一． 問題描述：
一堆猴子都有編號，編號是1，2，3 ...m ,這羣猴子（m個）按照1-m的順序圍坐一圈，從第1開始數，每數到第N個，該猴子就要離開此圈，這樣依次下來，直到圈中只剩下最後一隻猴子，則該猴子爲大王。
二． 基本要求：
(1) 輸入數據：輸入m,n m,n 爲整數，n<m
（2）中文提示按照m個猴子，數n 個數的方法，輸出爲大王的猴子是幾號 ，建立一個函數來實現此功能
C程序：
#include <stdio.h>
#include<malloc.h>
#define LEN sizeof(struct monkey) //定義struct monkey 這個類型的長度
struct monkey
{
int num;
struct monkey *next;
};
struct monkey *create(int m)
{
struct monkey *head,*p1,*p2;
int i;
p1=p2=(struct monkey*)malloc(LEN);
head=p1;
head->num=1;
for(i=1,p1->num=1;i<m;i++)
{
p1=(struct monkey*)malloc(LEN);
p1->num=i+1;
p2->next=p1;
p2=p1;
}
p2->next=head;
return head;
}
struct monkey *findout(struct monkey *start,int n)
{
int i;
struct monkey *p;
i=n;
p=start;
for(i=1;i<n-1;i++)
p=p->next;
return p;
}
struct monkey *letout(struct monkey *last)
{
struct monkey *out,*next;
out=last->next;
last->next=out->next;
next=out->next;
free(out);
return next;
}
int main()
{
int m,n,i,king;
struct monkey *p1,*p2;
printf("請輸入猴子的個數m:\n");
scanf("%d",&m);
printf("每次數猴子的個數n :\n");
scanf("%d",&n);
if(n==1)
{
king=m;
}
else
{
p1=p2=create(m);
for(i=1;i<m;i++)
{
p2=findout(p1,n);
p1=p2;
p2=letout(p1);
p1=p2;
}
king=p2->num;
free(p2);
}
printf("猴王的編號是：%d\n",king);
return 0;
}
pascal程序：
var
a:array[1..10000] of integer;
n,s,i,j:integer;
begin
read(m,n);
for i:=1 to m do a[i]:=1;
j:=0;
for i:=1 to m do
begin
s:=0;
while s<n do
begin
if j<m then inc(j)
else j:=1;
s:=s+a[j];
end;
write(j);
a[j]:=0;
end;
end.
#include <stdio.h>
int main()
{
int n, m, i, s=0;
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d\n", s+1);
return 0;
}
約瑟夫數學算法
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
int main( void )
{
int n, i = 0, m, p;
scanf("%d%d", &n, &m); //n總人數，m步長
while( ++i <= n )
{
p = i * m;
while (p > n)
p = p - n + (p - n - 1)/(m - 1);
printf("%d\n", p);
}
getch();
return 0;
}
約瑟夫遞推算法
#include<iostream>
using namespace std;
int king(int M, int N)
{
int k = 0;
for (int i = 2; i <= M; i++)
k = (k + N) % i;
return ++k; }i
nt main()
{
int n,m;
while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n&&m)
{
cout<<king(n,m)<<endl;
}
return 0;
}
筆算解決約瑟夫問題
在M比較小的時候 ，可以用筆算的方法求解，
M=2
即N個人圍成一圈，1，2，1，2的報數，報到2就去死，直到只剩下一個人爲止。
當N=2^k的時候，第一個報數的人就是最後一個死的，
對於任意的自然數N 都可以表示爲N=2^k+t,其中t<n/2
於是當有t個人去死的時候，就只剩下2^k個人 ，這2^k個人中第一個報數的就是最後去死的。這2^k個人中第一個報數的人就是2t+1
於是就求出了當M=2時約瑟夫問題的解：
求出不大於N的最大的2的整數次冪，記爲2^k，最後一個去死的人是2(N-2^k)+1
M=3
即N個人圍成一圈，1，2，3，1，2，3的報數，報到3就去死，直到只剩下一個人爲止。
此時要比M=2時要複雜的多
我們以N=2009爲例計算
N=2009，M=3時最後被殺死的人記爲F(2009,3),或者可以簡單的記爲F(2009)
假設現在還剩下n個人，則下一輪將殺死[n/3]個人，[]表示取整，還剩下n-[n/3]個人
設這n個人爲a1,a2,...,a(n-1),an
從a1開始報數，一圈之後，剩下的人爲a1,a2,a4,a5,...a(n-n mod 3-1),a(n-n mod 3+1),..,an
於是可得：
1、這一輪中最後一個死的是a(n-n mod 3),下一輪第一個報數的是a(n-n mod 3+1)
2、若3|n,則最後死的人爲新一輪的第F(n-[n/3])個人
若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])<=n mod 3則最後死的人爲新一輪的第n-[n/3]+F(n-[n/3])-（n mod 3）人
若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])>n mod 3則最後死的人爲新一輪的第F(n-[n/3])-（n mod 3）人
3、新一輪第k個人對應原來的第 3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1個人
綜合1，2，3可得：
F(1)=1,F(2)=2,F(3)=2,F(4)=1,F(5)=4，F(6)=1，
當f(n-[n/3])<=n mod 3時 k=n-[n/3]+F(n-[n/3])-（n mod 3）,F(n)=3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1
當f(n-[n/3])>n mod 3時 k=F(n-[n/3])-（n mod 3） ，F(n)=3*[(k-1)/2]+(k-1)mod 2+1
這種算法需要計算 [log(3/2)2009]次 這個數不大於22，可以用筆算了
於是：
第一圈，將殺死669個人，這一圈最後一個被殺死的人是2007，還剩下1340個人，
第二圈，殺死446人，還剩下894人
第三圈，殺死298人，還剩下596人
第四圈，殺死198人，還剩下398人
第五圈，殺死132人，還剩下266人
第六圈，殺死88人，還剩下178人
第七圈，殺死59人，還剩下119人
第八圈，殺死39人，還剩下80人
第九圈，殺死26人，還剩下54人
第十圈，殺死18人，還剩36人
十一圈，殺死12人，還剩24人
十二圈，殺死8人，還剩16人
十三圈，殺死5人，還剩11人
十四圈，殺死3人，還剩8人
十五圈，殺死2人，還剩6人
F(1)=1,F(2)=2,F(3)=2,F(4)=1,F(5)=4，F(6)=1，
然後逆推回去
F(8)=7 F(11)=7 F(16)=8 f(24)=11 f(36)=16 f(54)=23 f(80)=31 f(119)=43 f(178)=62 f(266)=89 f(398)=130
F(596)=191 F(894)=286 F(1340)=425 F(2009)=634