淺談整除分塊

淺談整除分塊

前言

我們在學習整除分塊之前，首先你得整除分塊就是是個什麼，它跟分塊（區間操作）相似但是不同（我學的時候有點小懵一直以爲是分塊然後額）。
我是在學習莫比烏斯反演的時候看到要先學前置知識整除分塊，於是去學習。（整除分塊比狄利克雷卷積簡單多了，雖然我到現在還是不會狄利克雷卷積和莫比烏斯反演。）

例題

洛谷
餘數求和
給出正整數n和k，計算G(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的餘數。例如G(10, 5)=5 mod 1 + 5 mod 2 + 5 mod 3 + 5 mod 4 + 5 mod 5 …… + 5 mod 10=0+1+2+1+0+5+5+5+5+5=29

推導題意可得
$\sum_{i=1}^{n} {k\mod i}$
首先數據之大讓你沒有辦法去暴力，所以它的難度是提高+省選-，那麼再次推導，可得式子爲
$=\sum_{i=1}^{n}{k-i*(k/i)}$
$=n*k-\sum_{i=1}^{n}{i*(k/i)}$
到此爲止，就是整除分塊的模板了，即求$\sum_{i=1}^{n}{i*(k/i)}$，當然$k/i$向下取整

到此，離開本題去講整除分塊的模板

整除分塊

$\sum_{i=1}^{n}{n/i}$
以下爲模板

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,ans;
int main()
{
  scanf("%lld",&n);
  for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
     {
        r=n/(n/l);
        ans+=(r-l+1)*(n/l);
        cout<<l<<' '<<r<<' '<<ans<<endl;
     }
  printf("%lld",ans);
}

當然給模板是爲了不用手動打樣例
我們通過模板可以得出

這組數據是怎麼的出來了的呢？

推導過程

當$n=10$時，我們手動求$\sum_{i=1}^{n}{n/i}$

可知答案是27，與上面相同，那麼這是爲什麼？
整除分塊，是把$n$除以每一個$i$的商相同的分成一塊
由10的樣例可知
重複的商相同的部分，我們可以在O(1)的時間內求出來
枚舉$(l,r)$
$(l,r)$區間即對於該區間任何一個數來說，$n$ \ $i=n$ \ $l$

我們從1開始枚舉$l$，
$r=n/(n/l)$
然後$l=r+1$
這樣可以把該序列整除分塊了
然後整除分塊的時間即從O(n)縮減到了O(1)

回到例題

我們在把$=n*k-\sum_{i=1}^{n}{i*(k/i)}$推導一下
可以得到對於每個區間$(l,r)$來說，公式爲$(k/l)*(r-l+1)*(l+r)/2$（自己推一推，很快滴）
即可得到答案

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

int main() {
    ll n,k;
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    ll ans=n*k;
    for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1) {
        if(k/l!=0) r=min(k/(k/l),n); 
        else r=n;
        ans-=(k/l)*(r-l+1)*(l+r)/2;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}