淺談乘法逆元

淺談乘法逆元

前言

乘法逆元……難以言表，一直覺得沒有什麼用，但是面對現實又不得……

正題

定義

若$a*x\equiv1 (\bmod {b})$，且a與b互質，那麼我們就能定義: x爲a的逆元，記爲$a^{-1}$
，所以我們也可以稱x爲a的倒數(我的理解是不在模P意義下)
在模P意義下
所以對於$\frac{a}{b} (\bmod {p})$
我們就可以求出b在$\bmod {p}$下的逆元，然後乘上$a$，再$\bmod {p}$，就是這個乘法逆元的值了。

求法

擴歐的乘法逆元求法我已經在我的上篇博客介紹過了，
乘法逆元的擴展歐幾里得求法

我現在來介紹一點玄妙的東西

快速冪

費馬小定理大家應該會的
$a^{p−1}≡1(modp)$
不會自行百度

那麼
$a*x\equiv1 (\bmod {b})$
可得
$a*x\equiv a^{p−1} (\bmod {b})$
可得
$x\equiv a^{p-2} (\bmod {b})$

ll fpm(ll x, ll power, ll mod) 
{
    x%=mod;
    ll ans=1;
    while (power) {
        if (power & 1) ans = (ans * x) % mod;
        x = (x * x) % mod;
        power >>= 1;
    }
    return ans;
}
printf ("%lld\n",fpm(i,p-2,p));

線性求一連串數字模P的乘法逆元

這個真的好玄啊
首先
很容易知道
$1^{-1}\equiv 1(mod p)$
設
$p=k*i+r$
$k*i+r\equiv 0(mod p)$
乘上$i^{-1}r^{-1}$
得
$k*r^{-1}+i^{-1}\equiv 0(mod p)$
得
$i^{-1}\equiv -k*r^{-1}(mod p)$
得
$i^{−1}≡−⌊\frac{p}{i}⌋∗(pmodi)^{−1}(modp)$

好神奇啊（霧）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long a[3000010],n,m,p;

int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&p);
	a[1]=1;
	printf("%lld\n",1);
	for (int i=2; i<=n; i++)
	  {
	  	a[i]=((-(p/i)*a[p%i])%p+p)%p;
	  	printf("%lld\n",a[i]);
	  }
}