二階濾波器原理及算法程序

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濾波器的作用是允許某些頻率的正弦信號基本無衰減的通過（增益爲 1，頻域 0dB），同時對另外某些頻率的正弦信號起到衰減作用（增益在 0.707 以下，頻域-3dB 以下）。 當然，濾波器對通過的正弦信號會產生一定的相移作用。

1.二階通用濾波器

二階濾波器表示的是濾波器時域表達式中最高含有二階微分，或者說傳遞函數分母的s最高次數爲2。濾波器對直流分量的增益爲1。據此可設零狀態二階通用濾波器的傳遞函數爲

時域表達式爲

待定參數爲a，b，c，d，e。

y(t)——輸出信號，x(t)——輸入信號。
現要將時域微分方程轉換成對應離散域差分方程，假設採樣週期爲Ts。

根據微分的定義，有

由以上分析可知，Ts越小時，上述約等式越精確。
將連續量t分段，令t=kTs，k=0,1,2⋯，則微分方程可化爲近似離散形式

將上述表達式代入到時域微分方程中，當Ts足夠小時，近似認爲

整理後得

進一步簡化得

k1 ⋯ k5對應式⑧相應的係數，且滿足

略去 Ts， 將時域離散信號轉變成序列信號， 成爲計算機能夠運算的式子：

根據式⑩， 可以很容易寫出二階通用濾波器的運算程序。

2.二階派生出的特殊濾波器

通過配置二階通用濾波器的係數 a， b， c， d， e，可以生成多種特殊用途的濾波器：

根據所需濾波器的指標（截止頻率、通帶頻率、阻帶頻率等）， 可以求出其傳遞函數的係數， 進一步推出通用型中的參數 abcde，再結合採樣週期 Ts， 則可以算出數字濾波器的係數 k1/k2/k3/k4。
對於更高階的濾波器， 可以根據要求， 對二階濾波器進行串聯組合（有些電機驅動器程序就是如此處理）。 例如， 要求一個高階濾波器中含有低通環節、 帶阻環節和超前滯後環節， 則可以先構造三個對應的二階濾波器， 然後在運算中進行串行運算。

以上內容說明了對於二階濾波器， 如何從模擬濾波器模型推出數字濾波器的計算程序。 對於整體的高階濾波器（即非二階組合型），上述方法過於繁瑣，計算量大，則需要採用數字濾波中 IIR 和 FIR 濾波器設計方法，計算各差分量的係數， 請參考《信號與系統》教材。 建議採用 Matlab 中的 FDATOOL 進行濾波器設計， 直接生成 z 域系統方程的參數，非常方便。

參考程序：

typedef struct SecOrdFilter{
float k1;
float k2;
float k3;
float k4;
float k5;
float xin;
float x1;
float x2;
float yout;
float y1;
float y2;
} vector;
 
#define SecondOrderFilter(v)    \                   // 後面將vector賦值給v
yout = v.k1*v.xin + v.k2*v.x1+v.k3*v.x2+ v.k4*v.y1 + v.k5*v.y2;  \
v.x2 = v.x1;     \
v.x1 = v.xin;    \
v.y2 = v.y1;     \
v.y1 = v.yout;