卡特蘭(Catalan)數入門詳解

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基本概念

介紹

學卡特蘭數我覺得可能比組合數要難一點，因爲組合數可以很明確的告訴你那個公式是在幹什麼，而卡特蘭數卻像是在用大量例子來解釋什麼時卡特蘭數
這裏，我對卡特蘭數做一點自己的理解
卡特蘭數是一個在組合數學裏經常出現的一個數列，它並沒有一個具體的意義，卻是一個十分常見的數學規律

對卡特蘭數的初步理解：有一些操作，這些操作有着一定的限制，如一種操作數不能超過另外一種操作數，或者兩種操作不能有交集等，這些操作的合法操作順序的數量

爲了區分組合數，這裏用$f_n$表示卡特蘭數的第$n$項
從零開始，卡特蘭數的前幾項爲$1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790\ldots$

定義

遞歸定義

$f_n=f_0*f_{n-1}+f_1*f{n-2}+\ldots+f_{n-1}f_{0}$，其中$n\geq 2$

遞推關係

$f_n=\frac{4n-2}{n+1}f_{n-1}$

通項公式

$f_n=\frac{1}{n+1}C_{2n}^{n}$

經化簡後可得

$f_n=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$

只要我們在解決問題時得到了上面的一個關係，那麼你就已經解決了這個問題，因爲他們都是卡特蘭數列

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實際問題

先用一個最經典的問題來幫助理解卡特蘭數
去掉了所有的掩飾，將問題直接寫出來就是

例題1

在一個$w\times h$的網格上，你最開始在$\left(0,0\right)$上，你每個單位時間可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一個時刻，你往右走的次數都不能少於往上走的次數，問走到$\left(n,m\right),0\leq n$有多少種不同的合法路徑。

合法路徑個數爲$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$

直接求不好，考慮求有多少種不合法路徑
路徑總數爲在$2n$次移動中選$n$次向上移動，即$C_{2n}^{n}$

畫一下圖，我們把$y=x+1$這條線畫出來，發現所有的合法路徑都是不能碰到這條線的，碰到即說明是一條不合法路徑
先隨便畫一條碰到這條線的不合法路徑，所有的不合法路徑都會與這條線有至少一個交點，我們把第一個交點設爲$\left(a,a\right)$
如圖

我們把$\left(a,a\right)$之後的路徑全部按照$y=x+1$這條線對稱過去
這樣，最後的終點就會變成$\left(n-1,n+1\right)$

由於所有的不合法路徑一定會與$y=x+1$有這麼一個交點
我們可以得出，所有不合法路徑對稱後都唯一對應着一條到$\left(n-1,n+1\right)$的路徑
且所有到$\left(n-1,n+1\right)$的一條路徑都唯一對應着一條不合法路徑（只需將其對稱回去即可）
所以不合法路徑總數是$C_{2n}^{n-1}$

那麼合法的路徑總數爲$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$

這是一個非常好用且重要的一個方法，其它的問題也可以用該方法解決
即找到不合法路徑唯一對應的到另一個點的路徑
如網格計數

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方法

先將方法寫在前面吧
相信大家都聽過燒開水這個數學小故事吧
和學習數學一樣，轉化是基本思路，將一個問題轉化爲另外一個已經解決了的問題是最重要的

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01序列

你現在有$n$個$0$和$n$個$1$，問有多少個長度爲$2n$的序列，使得序列的任意一個前綴中$1$的個數都大於等於$0$的個數
例如$n=2$時
有$1100,1010$兩種合法序列
而$1001,0101,0110,0011$都是不合法的序列

合法的序列個數爲$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$

我們把出現一個$1$看做向右走一格，出現一個$1$看做向上走一格，那麼這個問題就和上面的例題$1$一模一樣了

拓展
如果是$n$個$1,m$個$0$呢？
不過是最後的終點變爲了$\left(n,m\right)$罷了
如果是$1$的個數不能夠比$m$少$k$呢
我們只需將$y=x+1$這條線上下移動即可

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括號匹配

你有$n$個左括號，$n$個右括號，問有多少個長度爲$2n$的括號序列使得所有的括號都是合法的

合法的序列個數爲$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$

要使所有的括號合法，實際上就是在每一個前綴中左括號的數量都不少於右括號的數量
將左括號看做$1$，右括號看做$0$，這題又和上面那題一模一樣了

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進出棧問題

有一個棧，我們有$2n$次操作，$n$次進棧，$n$次出棧，問有多少中合法的進出棧序列

合法的序列個數爲$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$

要使序列合法，在任何一個前綴中進棧次數都不能少於出棧次數$\ldots$
後面就不用我說了吧，和上面的問題又是一模一樣的了

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312排列

一個長度爲$n$的排列$a$，只要滿足$i<j<k$且$a_j<a_k<a_i$就稱這個排列爲$312$排列
求$n$的全排列中不是$312$排列的排列個數

答案也是卡特蘭數

我們考慮$312$排列有什麼樣的特徵
如果考慮一個排列能否被$1,2,3,\ldots,n-1,n$排列用進棧出棧來表示
那麼$312$排列就是所有不能被表示出來的排列
那麼這個問題就被轉化成進出棧問題了

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不相交弦問題

在一個圓周上分佈着 $2n$個點，兩兩配對，並在這兩個點之間連一條弦，要求所得的$2n$條弦彼此不相交的配對方案數
當$n=4$時，一種合法的配對方案爲如圖

合法的序列個數爲$C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$

這個問題沒有上面的問題那麼顯然，我們規定一個點爲初始點，然後規定一個方向爲正方向
如規定最上面那個點爲初始點，逆時針方向爲正方向
然後我們把一個匹配第一次遇到的點（稱爲起點）旁邊寫一個左括號$($，一個匹配第二次遇到的點（稱爲終點）旁邊寫一個右括號$)$
如圖

看出來嗎，在規定了這樣的一個順序後，在任意一個前綴中起點的個數都不能少於終點的個數
於是這又是一個卡特蘭數列了

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二叉樹的構成問題

有$n$個點，問用這$n$個點最終能構成多少二叉樹

答案仍然是卡特蘭數列

這個問題不是用上面的方法，是用遞歸定義的卡特蘭數

一個二叉樹分爲根節點，左子樹，右子樹
其中左子樹和右子樹也是二叉樹，左右子樹節點個數加起來等於$n-1$
設$i$個點能構成$f_i$個二叉樹
我們枚舉左子樹有幾個點可得
$f_n=f_0*f_{n-1}+f_{1}*f_{n-2}+\ldots+f_{n-1}*f_{0}$
這個和卡特蘭數列的遞歸定義是一模一樣的

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凸多邊形的三角劃分

一個凸的$n$邊形，用直線連接他的兩個頂點使之分成多個三角形，每條直線不能相交，問一共有多少種劃分方案

答案還是卡特蘭數列

我們在凸多邊形中隨便挑兩個頂點連一條邊，這個凸多邊形就會被分成兩個小凸多邊形，由於每條直線不能相交，接下來我們就只要求這兩個小凸多邊形的劃分方案然後乘起來即可

和二叉樹的構成問題一樣，我們枚舉大凸多邊形被分成的兩個小凸多邊形的大小即可

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階梯的矩形劃分

一個階梯可以被若干個矩形拼出來
圖示是兩種劃分方式

像下圖是不合法的劃分方式

問，一個$n$階矩形有多少種矩形劃分

答案仍然是卡特蘭數列

我們考慮階梯的每個角

如圖

每個角一定是屬於不同的矩形的，我們考慮和左下角屬於一個矩形的是哪個角
這個矩形將這個梯形又分成兩個小梯形，如圖

於是我們又可以寫出遞推式了
和卡特蘭數列的遞歸式是一樣的

卡特蘭數就講這麼多吧

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