BSGS和EXBSGS

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$Description$

給定$a,b,p$,求一個$x$使其滿足$a^x\equiv b\ \left(mod\ p\right)$

$BSGS$

$BSGS$可以解決$p$爲質數的情況
令 $m=\lceil \sqrt p\rceil$

令 $x=i\cdot m-k$

有 $a^{i\cdot m-k} \equiv b\ (mod\ p)$

兩邊同乘 $a^k$ 得 $a^{i\cdot m}\equiv b\cdot a^k\ (mod\ p)$

我們先將右邊的 $b\cdot a^k$ 全部求出來存到一個表裏,這樣預處理時間複雜度爲 $\sqrt p$

之後再枚舉 $i$ 到 $\sqrt p$ ,看錶裏有沒有 $a^{i\cdot m}\ mod\ p$,有的話就有一組解

再反向求出$x$即可

$EXBSGS$

當$p$不是質數時
令 $g=gcd(a,p)$
有 $a^{x-1}\cdot \dfrac{a}{g}\cdot g \equiv \dfrac{b}{g}\cdot g\ \left(mod\ \dfrac{p}{g}\cdot g\right)$
把那個$g$除掉
$a^{x-1}\cdot \dfrac{a}{g} \equiv \dfrac{b}{g}\ \left(mod\ \dfrac{p}{g} \right)$
然後重複這個過程直到$a,p$互質

$p$除掉$gcd(a,p)$後可能仍與$a$有公約數,與$\frac{a}{gcd(a,p)}$互質

顯然,在這個過程中如果$p$不能被$b$整除就無解

到最後會得到這樣的方程
$a^{x-i}\cdot c\equiv t\ \left(mod\ p\right)$
$c$是由$a$的冪除以若干個因子得到的 $c,t$肯定互質
兩邊乘以$c^{-1}$(逆元)
$a^{x-i}\equiv t\cdot c^{-1}\ \left(mod\ p\right)$
用$BSGS$對$x-i$求解即可
最後記得加上$i$

$Code$

$BSGS$

ksm(a,b);//return a^b
gcd(a,b);//return gcd(a,b)
//{{{bsgs
int bsgs (int a,int b,int p)//return a^x ≡ b mod p 's x
{
	a%=p;
	if (!a&&!b)	return 1;
	if (!a)	return -1;
	int m=sqrt(p);
	map <int,int> mp;//這裏用的map 也可以自己打個哈希
	int t=b%p;
	mp[t]=0;
	for (int i=1;i<=m;++i)	mp[t=1ll*t*a%p]=i;
	t=1;
	int mi=ksm(a,m);
	for (int i=1;1ll*i*i<=p+1;++i){
		t=1ll*t*mi%p;
		if (mp.count(t))	return ((1ll*i*m%p-mp[t])%p+p)%p;
	}
	return -1;
}
//}}}

$EXBSGS$

//{{{exbsgs
int exbsgs (int a,int b,int p)//a^x ≡ b mod p 's x
{
	if (b==1)	return 0;
	int cnt=0,t=1;
	for (int g=gcd(a,p);g!=1;g=gcd(a,p)){
		if (b%g)	return -1;
		++cnt,b/=g,p/=g;
		t=1ll*t*a/g%p;
		if (b==t)	return cnt;
	}
	int x=bsgs(a,1ll*ksm(t,p-2)*b%p,p);
	if (x!=-1)	x+=cnt;
	return x;
}
//}}}

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