TopCoder SRM 701 div1. 900 FibonacciStringSum - 矩陣乘法

　　初賽大原題！（霧
　　稍微推一推就可以得到要算的式子是
　　

∑k(n+1−kk)kb(n−k)a

　　可以用二項式定理展開，得到
　　

∑i(ai)ni(−1)a−i∑k(n+1−kk)kb+a−i

　　前面的求和指標是O(a) 的，很小，所以現在想辦法算後面的東西。
　　注意到算k 次方和的時候是可以矩乘的，這個玩意同理。
　　設

Sd(n)=∑k(n−kk)kd

　　稍微把組合數拆一下然後變個型，嘗試搞個遞推式出來
　　

Sd(n)=∑k≥0((n−1−kk)+(n−1−kk−1))kd　　=Sd(n−1)+∑k+1≥0(n−2−kk)(k+1)d　　=Sd(n−1)+∑k(n−2−kk)∑j(dj)kj　　=Sd(n−1)+∑j(dj)Sj(n−2)

　　於是Sd(n) 這玩意就可以愉快地矩乘了。
　　設

F1×2(d+1)(n)=[S0(n),S1(n)...Sd(n),S0(n+1),S1(n+1)...Sd(n+1)]

　　那麼F(n) 到F(n+1) 的轉移矩陣A 是很容易得到的。
　　我們原本要算的東西現在變成了

∑i(ai)ni(−1)a−iSb+a−i(n+1)

　　注意到實際上一次矩乘就可以把Sb...Sb+a 給算出來，於是總複雜度爲O(a3logn) 。
　　代碼太醜就不貼了。