組合數學-換方算法分析

註釋：原文轉自：http://www.cnblogs.com/panlijiao/archive/2012/05/11/2496757.html

 

一、幻方按照階數可分成了三類，即奇數階幻方、雙偶階幻方、單偶階幻方。

二、奇數階幻方（勞伯法）

奇數階幻方最經典的填法是羅伯法。填寫的方法是：

把1（或最小的數）放在第一行正中；按以下規律排列剩下的(n×n－1)個數：
（1）每一個數放在前一個數的右上一格；

（2）如果這個數所要放的格已經超出了頂行那麼就把它放在底行，仍然要放在右一列；

（3）如果這個數所要放的格已經超出了最右列那麼就把它放在最左列，仍然要放在上一行；

（4）如果這個數所要放的格已經超出了頂行且超出了最右列，那麼就把它放在底行且最左列；

（5）如果這個數所要放的格已經有數填入，那麼就把它放在前一個數的下一行同一列的格內。

例，用該填法獲得的5階幻方：

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

二、雙偶數階幻方（海爾法）

所謂雙偶階幻方就是當n可以被4整除時的偶階幻方，即4K階幻方。在說解法之前我們先說明一個“互補數”定義：就是在n階幻方中，如果兩個數的和等於幻方中最大的數與1的和（即n×n＋1），我們稱它們爲一對互補數。如在三階幻方中，每一對和爲10的數，是一對互補數 ；在四階幻方中，每一對和爲17的數，是一對互補數。

雙偶數階幻方最經典的填法是海爾法。填寫的方法是：

以8階幻方爲例：
（1）先把數字按順序填。然後，按4×4把它分割成4塊（如圖）

1	2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64

（2）每個小方陣對角線上的數字（如左上角小方陣部分），換成和它互補的數。

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

三、單偶數階幻方（斯特拉茲法）

所謂單偶階幻方就是當n不可以被4整除時的偶階幻方，即4K+2階幻方。如(n=6，10，14……)的幻方。

 

單偶數階幻方最經典的填法是斯特拉茲法。填寫的方法是：

以10階幻方爲例。這時，k=2。
（1）把魔方陣分爲A，B，C，D四個象限，這樣每一個象限肯定是奇數階。用羅伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇數階幻方的填法填數。

（2）在A象限的中間行、中間格開始，按自左向右的方向，標出k格。A象限的其它行則標出最左邊的k格。將這些格，和C象限相對位置上的數互換位置。

（3）在B象限所有行的中間格，自右向左，標出k－1格。(注：6階幻方由於k－1=0，所以不用再作B、D象限的數據交換)，將這些格，和D象限相對位置上的數互換位置。

四、源代碼如下，已加詳細註釋

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

int array[15][15];

int init(int degree)                                  //初始化
{
    int i;
    int j;

    for(i=0; i<=degree+1; i++)
    for(j=0; j<=degree+1; j++)
        array[i][j] = 0;
    return 0;
}

int test_print(int x, int y, int w, int h)            //測試用的，輸出以（x，y）爲原點，寬爲w，高爲h，這個區域的數值
{
    int i;
    int j;
    for(i=y; i<=y+h-1; i++){
        for(j=x; j<=x+w-1; j++){
            printf("%2d ",array[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

int lao_bo_er(int degree, int x, int y, int num)      //勞伯法
{
    int i;
    int j;
    int k;

    i = y;
    j = degree/2 + x;
    for(k=num; k<=num+degree*degree-1; k++){
        array[i][j] = k;
        if((k-num+1)%degree == 0){            //如果這個數所要放的格已經有數填入
            i = (i-y+1)%degree+y;
        }
        else{                                 //每一個數放在前一個數的右上一格
            i = (i-y-1+degree)%degree+y;
            j = (j-x+1)%degree+x;
        }
    }
    return 0;
}

int seq_range(int degree)                             //把數字按順序填
{
    int i;
    int j;
    int num;

    num = 1;
    for(i=1; i<=degree; i++){
        for(j=1; j<=degree; j++){
            array[i][j] = num++;
        }
    }
    return 0;
}

int si_te_la_zi(int degree, int x, int y, int num)    //斯特拉茲法
{
    int deg;
    int k;
    int temp;
    int i;
    int j;

    deg = degree/2;
    lao_bo_er(deg, x, y, num);                    //用羅伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇數階幻方的填法填數
    lao_bo_er(deg, x+deg, y, num+2*deg*deg);
    lao_bo_er(deg, x, y+deg, num+3*deg*deg);
    lao_bo_er(deg, x+deg, y+deg, num+deg*deg);

    k = (degree-2)/4;
    for(i=1; i<=deg; i++){                        //A象限和C象限對換數據
        for(j=1; j<=k; j++){
            temp = array[i][j];
            array[i][j] = array[i+deg][j];
            array[i+deg][j]=temp;
        }
        for(j=deg+deg/2+1; j>=deg+deg/2-k+3; j--){
            temp = array[i][j];
            array[i][j] = array[i+deg][j];
            array[i+deg][j]=temp;
        }
    }

    for(i=j=1; j<=deg/2+k; j++){                  //B象限和D象限對換數據
        temp = array[i+deg/2][j];
        array[i+deg/2][j] = array[i+deg+deg/2][j];
        array[i+deg+deg/2][j]=temp;
    }

    return 0;
}

int hai_er_fa(int degree)                             //海爾法
{
    int i;
    int j;
    int complement;
    int deg;

    seq_range(degree);

    complement = degree*degree+1;
    deg = degree/4;
    for(i=0; i<deg; i++){
        for(j=0; j<deg; j++){                 //對角線上的數字換成和它互補的數
            array[i*4+1][j*4+1] = complement - array[i*4+1][j*4+1];
            array[i*4+1][j*4+4] = complement - array[i*4+1][j*4+4];
            array[i*4+4][j*4+1] = complement - array[i*4+4][j*4+1];
            array[i*4+4][j*4+4] = complement - array[i*4+4][j*4+4];

            array[i*4+2][j*4+2] = complement - array[i*4+2][j*4+2];
            array[i*4+2][j*4+3] = complement - array[i*4+2][j*4+3];
            array[i*4+3][j*4+2] = complement - array[i*4+3][j*4+2];
            array[i*4+3][j*4+3] = complement - array[i*4+3][j*4+3];
        }
    }
    return 0;
}

int main()
{
    int degree;
    printf("please input the degree\n");
    scanf("%d",&degree);
    init(degree);
    if(degree%2 == 1){                            //奇數階幻方
        lao_bo_er(degree,1,1,1);
        test_print(1,1,degree,degree);
    }
    else if(degree%4 == 2){                       //雙偶階幻方
        si_te_la_zi(degree, 1, 1, 1);
        test_print(1,1,degree,degree);
    }
    else{                                         //單偶階幻方
        hai_er_fa(degree);
        test_print(1,1,degree,degree);
    }

    return 0;
}