各種數論定理

小技巧
當算某個數的階乘或者算很大的次方的時候，可以將數字轉換爲10^n的進製表示方法（比如1000進制或者10000進制），這樣出來點的數字和原答案是一樣的，只不過在一個數組的一個元素中多存了幾位。

約數個數定理
首先，n可以分解質因數：n=p1^a1×p2^a2×p3^a3*…*pk^ak,
由約數定義可知p1^a1的約數有:p1^0, p1^1, p1^2……p1^a1 ，共（a1+1）個;同理p2^a2的約數有（a2+1）個……pk^ak的約數有（ak+1）個。
故根據乘法原理：n的約數的個數就是(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(ak+1)。
歐拉函數
通式：
其中p1, p2……pn爲x的所有質因數，x是不爲0的整數。
φ(1)=1（唯一和1互質的數(小於等於1)就是1本身）。
約數和定理
對於一個大於1正整數n可以分解質因數：n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,
則由約數個數定理可知n的正約數有(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)個，
那麼n的(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)個正約數的和爲
f(n)=(p1^0+p1^1+p1^2+…p1^a1)(p2^0+p2^1+p2^2+…p2^a2)…(pk^0+pk^1+pk^2+…pk^ak）
求1~n的最小公倍數**
從1開始記錄到達當前值的最小公倍數，如果前一個的最小公倍數能整除當前值，則最小公倍數不變，否則*當前值除過1之外的最小約數，因爲到當前值爲止，假設到n了，m是n的最小約數（除了1），則n/m肯定在前面出現過，又要求最小公倍數，所以當前的最小公倍數是，搶一個的最小公倍數*m。
數論線性篩法總結
包括素數篩，歐拉函數篩，莫比烏斯函數篩，前n個數的約數個數篩。
費馬平方和定理
奇質數能表示爲兩個平方數之和的充分必要條件是該質數%4==1及4k+1的形式。
拉格朗日四平方和定理
每個正整數均可表示爲4個整數的平方和。

m個不同的盒子內放入n個相同的小球的方案數(可以有空盒)
Cnn+m−1${\mathbb{C}}_{n+m-1}^n$ 可以將m個盒子想象爲m-1塊隔板，最後和那個球放在一起就是n+m-1個，然後就是隔板的選法Cm−1n+m−1${\mathbb{C}}_{n+m-1}^{m-1}$ 和前面的選法是相同的。
當不能有空盒時先給每一個盒子內放1個然後剩下的小球按照上面的方法方就好了

排列組合公式
Cmn${\mathbb{C}}_n^m$ =Cn−mn${\mathbb{C}}_n^{n-m}$ =Cm−1n−1${\mathbb{C}}_{n-1}^{m-1}$ +Cmn−1${\mathbb{C}}_{n-1}^m$
C0n${\mathbb{C}}_n^0$ +C1n${\mathbb{C}}_n^1$ +C2n${\mathbb{C}}_n^2$ +…+Cnn${\mathbb{C}}_n^n$ =2n$2^n$
Crn${\mathbb{C}}_n^r$ +Cr+1n${\mathbb{C}}_n^{r+1}$ =Cr+1n+1${\mathbb{C}}_{n+1}^{r+1}$
Cnn${\mathbb{C}}_n^n$ +Cnn+1${\mathbb{C}}_{n+1}^n$ +Cnn+2${\mathbb{C}}_{n+2}^n$ +…+Cnn+m${\mathbb{C}}_{n+m}^n$ =Cn+1n+m+1${\mathbb{C}}_{n+m+1}^{n+1}$
新方法打逆元表

void init() {  
    F[0] = 1;  
    for(int i = 1; i < MX; i++) {  
        F[i] = (F[i - 1] * i) % mod;  
    }  
    invF[MX - 1] = power(F[MX - 1], mod - 2);  
    for(int i = MX - 2; i >= 0; i--) {  
        invF[i] = invF[i + 1] * (i + 1) % mod;  
    }  
}  

從1到n所有值的異或值
if n % 4 == 0值爲n
if n % 4 == 1值爲1
if n % 4 == 2值爲n+1
if n % 4 == 3值爲0

unsigned xor_n(unsigned n)

{

 unsigned t = n & 3;

 if (t & 1) return t / 2u ^ 1;

 return t / 2u ^ n;

}

楊輝三角
第n行第m個數是Cmn${\mathbb{C}}_n^m$ ,當n&m==m成立時可以判斷Cmn${\mathbb{C}}_n^m$ 是奇數。

一個數的所有約數（包括自己）的歐拉函數之和，等於這個數本身的值
根據日期計算星期幾

int judge(int y,int m,int d)//返回星期幾
{
    if(m==1||m==2)
    {
        m+=12;
        y--;
    }
    return ((d+2*m+3*(m+1)/5+y+y/4-y/100+y/400)%7)+1;
}

k1和k2互素，結論是k1*k2和k1+k2也是互素的。

錯排公式

    ans[1]=0;
    ans[2]=1;
    ans[3]=2;
    for(int i=4;i<=20;i++)
        ans[i]=(i-1)*(ans[i-1]+ans[i-2]);

四大定理
1.威爾遜定理
(p−1)!≡−1modp$(p-1)!\equiv -1\mathrm{mod}p$ ,p爲質數。
2.歐拉定理
phi(n)，小於n和n互素的數字個數。
在 [1,n] 中與 n 互素的數的和爲：phi(n)∗n2$\frac{phi(n)\ast n}{2}$
3.費馬小定理
a(p−1)≡1modp$a^{(p-1)}\equiv 1\mathrm{mod}p$ ,p是質數，且p不能整除a。
4.費馬大定理
當整數n >2時，關於x, y, z的方程 xn+yn=zn$x^n+y^n=z^n$ 沒有正整數解。

從0開始每次跳a步，上限是m-1，可以無限次的跳，則跳過得值是gcd(m,a)的倍數

持續更新中………