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Description
傳說很久以前，大地上居住着一種神祕的生物：地精。 地精喜歡住在連綿不絕的山脈中。具體地說，一座長度爲 N 的山脈 H可分 爲從左到右的 N 段，每段有一個獨一無二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之間的正 整數。 如果一段山脈比所有與它相鄰的山脈都高，則這段山脈是一個山峯。位於邊 緣的山脈只有一段相鄰的山脈，其他都有兩段（即左邊和右邊）。 類似地，如果一段山脈比所有它相鄰的山脈都低，則這段山脈是一個山谷。 地精們有一個共同的愛好——飲酒，酒館可以設立在山谷之中。地精的酒館 不論白天黑夜總是人聲鼎沸，地精美酒的香味可以飄到方圓數裏的地方。 地精還是一種非常警覺的生物，他們在每座山峯上都可以設立瞭望臺，並輪 流擔當瞭望工作，以確保在第一時間得知外敵的入侵。 地精們希望這N 段山脈每段都可以修建瞭望臺或酒館的其中之一，只有滿足 這個條件的整座山脈纔可能有地精居住。 現在你希望知道，長度爲N 的可能有地精居住的山脈有多少種。兩座山脈A 和B不同當且僅當存在一個 i，使得 Ai≠Bi。由於這個數目可能很大，你只對它 除以P的餘數感興趣。
Input
僅含一行，兩個正整數 N, P。
Output
僅含一行，一個非負整數，表示你所求的答案對P取餘 之後的結果。
Sample Input
4 7
Sample Output
3
HINT
對於 20%的數據，滿足 N≤10；
對於 40%的數據，滿足 N≤18；
對於 70%的數據，滿足 N≤550；
對於 100%的數據，滿足 3≤N≤4200，P≤109
Source
第一輪Day2簡單題意：求長度爲n的波動數列個數。
這就很有意思，自己想了好久，找不到其本質的東西。
波動數列有一些有趣的性質。
比如，對於51423這樣的波動數列，將數字全部“取反”，也就是對於x，變成n+1-x，變成65243，它仍然是一個波動數列，這就好像把sin的圖像乘-1一樣。
定義f[i][j]爲考慮了i個數，最後一個數第j大，且爲山谷的方案數。
類似地，定義g[i][j]爲考略了i個數，最後一個數第j大，且爲山峯的方案數。
由於上面說到的取反性質，可以寫出g[i][j]=f[i][i+1-j]。
爲什麼這裏是i+1-j而不是n+1-j呢？注意，定義的第j大是在考慮了的前i個數中的相對大小，我們不關心它是不是真的“j”這個數，同理，前i個數，也不一定是1到i的一個排列，而是任意的i個數。
同時，我們有f[i][j]=Σg[i-1][k]*[j<=k<=i-1]
爲什麼呢？要讓最後一個數加入成爲山谷，說明它小於前面的數，前面可以接受的最小數是多少呢？第一反應是j-1，但是注意這裏的j是相對排名，由於加入了新的數x，且x小於前面的數，所以前面的數排名就升了一位，也就是說前面最小是j，這就是轉移的下界，上界自然是前面的最大排名i-1。
由此，聯立二式可得
f[i][j]=Σg[i-1][k]*[j<=k<=i-1]，
g[i-1][k]=f[i-1][i-k]，
f[i][j]=Σg[i-1][k]=f[i-1][i-k] * [j<=k<=i-1]=f[i-1][k] * [j<=i-k<=i-1]=Σg[i-1][k]=f[i-1][k] * [1<=k<=i-j]
注意到這裏的f[i-1][k]的k的上界隨着i增大而增大，可以用變量儲存，O(1)轉移
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
const int maxn=5005;
int n, p, f[2][maxn], s, ans;
int main(){
cin>>n>>p;
f[1][1] = 1;
for (int i=2; i<=n;i++) {
s=0;
for(int j=i-1;j;j--) {
s=(s+f[(i-1)&1][i-j])%p;
f[i&1][j]=s;
}
}
for(int j=1;j<=n;++j) {
ans=(ans+f[n&1][j])%p;
}
cout<<(ans<<1)%p;
return 0;
}
