[bzoj2005][luogu1447][noi2010]能量採集

原創

YZH__12345

2020-02-22 16:56

Description

棟棟有一塊長方形的地，他在地上種了一種能量植物，這種植物可以採集太陽光的能量。在這些植物採集能量後，棟棟再使用一個能量彙集機器把這些植物採集到的能量彙集到一起。

棟棟的植物種得非常整齊，一共有n列，每列有m棵，植物的橫豎間距都一樣，因此對於每一棵植物，棟棟可以用一個座標(x, y)來表示，其中x的範圍是1至n，表示是在第x列，y的範圍是1至m，表示是在第x列的第y棵。

由於能量彙集機器較大，不便移動，棟棟將它放在了一個角上，座標正好是(0, 0)。

能量彙集機器在彙集的過程中有一定的能量損失。如果一棵植物與能量彙集機器連接而成的線段上有k棵植物，則能量的損失爲2k + 1。例如，當能量彙集機器收集座標爲(2, 4)的植物時，由於連接線段上存在一棵植物(1, 2)，會產生3的能量損失。注意，如果一棵植物與能量彙集機器連接的線段上沒有植物，則能量損失爲1。現在要計算總的能量損失。

下面給出了一個能量採集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上標明瞭能量彙集機器收集它的能量時產生的能量損失。

在這個例子中，總共產生了36的能量損失。

Input

僅包含一行，爲兩個整數n和m。

Output

僅包含一個整數，表示總共產生的能量損失。

Sample Input

【樣例輸入1】

5 4

【樣例輸入2】

3 4

Sample Output

【樣例輸出1】

【樣例輸出2】

對於100%的數據：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

蒟蒻用莫比烏斯過的。。
Orz各位用歐拉函數過的大佬。。。
Orz w_yqts
首先，令f(x,y)={(a,b),0< a< x,0< b< y,a∈Z,b∈Z,y/x=b/a}的大小
答案爲Σ(2*f(i,j)-1)
顯然,f(i,j)=gcd(i,j)
於是有

大概就是這樣子…
代碼如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100005
int miu[N],pr[N],flag[N],pn;
int n,m;
int calc(int n,int m)
{
    if (!n) return 0;
    int res=0;
    for (int i=1,pos;i<=n;i=pos+1)
    {
        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));\
        res+=(miu[pos]-miu[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return res;
}
int gcd(int x,int y)
{
    if (!y) return x;
    return gcd(y,x%y);
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    if (n<m) swap(n,m);
    miu[1]=flag[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;++i)
    {
        if (!flag[i]) pr[++pn]=i,miu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=pn && pr[j]*i<=n;++j)
        {
            flag[i*pr[j]]=1;
            if (i%pr[j]==0)
            {
                miu[i*pr[j]]=0;
                break;
            }
            miu[i*pr[j]]=-miu[i];
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;++i) miu[i]+=miu[i-1];
    swap(n,m);
    long long ans=0LL;
    for (int d=1;d<=n;++d) ans+=(long long)(d)*calc(n/d,m/d);
    cout<<ans*2-n*m<<endl;
}