反演學習小計

參考資料

炫酷反演魔術，打開了我新世界的大門，原來這些反演都是一個東西！！！

二項式反演

簡單的錯排遞推式

$\sum_{i=0}^n(-1)^iC_n^i(n-i)!$

• 即枚舉每一次至少幾個位置不合法，最後容斥出0個位置不合法的方案。
• 考慮恰好有m(m>0)個位置不合法的方案，對於一種m個位置的選擇來說，它會在枚舉至少0…m-1的時候被算一次。即$\sum_{i=0}^m(-1)^iC_m^i=(1-1)^m=[m=0]$，最後對於m>0的貢獻都爲0，只有m=0的貢獻爲1，即我們要求的答案。

式子

$f(n)=\sum_{i=0}^{n}C_n^ig(i)$
$g(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}C_n^if(i)$

推導：

• 首先有
  $\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_n^i=\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_n^i*1^{n-i}=(-1+1)^n=[n=0]$
• 然後
  $g(n)=\sum_{i=0}^n[n-i=0]*C_n^ig(i)$
  $=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^{n-i}(-1)^jC_n^j*C_n^ig(i)$
  $=\sum_{j=0}^n(-1)^jC_n^j\sum_{i=0}^{n-j}C_n^ig(i)$
  $=\sum_{j=0}^n(-1)^jC_n^jf(n-j)$
  $=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}C_n^if(i)$

莫比烏斯反演

$f(n)=\sum_{d|n}g(d)$
$g(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})f(d)$

推導

• 注意到對於二項式反演，我們有一條式子$\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_n^i=[n=0]$
• 類比莫比烏斯反演，我們也可以構造一個容斥係數，既然之前是求和的關係，現在我們要考慮因數的關係，所以自然就有了這個$\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$，後面我們會發現$\mu(d)$的求法。
• 同上，我們也可以這樣子推導：
  $g(n)=\sum_{d|n}[\frac{n}{d}=1]*g(d)$
  $=\sum_{d|n}\sum_{k|\frac{n}{d}}\mu(k)*g(d)$
  $=\sum_{k|n}\mu(k)*\sum_{d|\frac{n}{k}}g(d)$
  $=\sum_{k|n}\mu(k)f(\frac{n}{k})$
  $=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})f(d)$
• 妙啊，殊途同歸。
• 實際上對於以下的莫比烏斯反演的變式也是一樣的推法。
  $f(n)=\sum_{n|d}g(d)$
  $g(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{n}{d})f(d)$

轉移的矩陣表示

• 我們可以把轉移看作矩陣乘法。
• 相當於是[1,n]矩陣乘上一個[n,n]的矩陣。
• 那麼反演不就是矩陣求逆嗎！

子集反演

一道簡單題

• 給出$a[i],b[i](0<=i<2^n)$，求$c[k]=\sum_{i |j=k}a[i]*b[j]$。
• FWT一波 。考慮比較容易計算$c'[S]=\sum_{T\subseteq S}c[T]$
• $c'[S]=\sum_{i\subseteq S}a[i]*\sum_{j \subseteq S}b[j]$。
• 然後再反演一波得到c？？？
• 實際上是c的高維前綴和爲c’，倒着差分回去。。。
• 但是用這個推式子可不行，於是就有了下面的反演。

正經的式子

$f(S)=\sum_{T\subseteq S}g(T)$
$g(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S-T|}f(T)$

推導

• 同上和上上，我們也可以來一個容斥的係數
  $\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|}=[S=0]$
• 和二項式反演的意義是一樣的，組合數就是在S中選一個|T|=i的方案。
• 然後再再再用相同的方法。
  $g(S)=\sum_{T\subseteq S}[S-T=0]g(T)$
  $=\sum_{T\subseteq S}\sum_{R\subseteq S-T}(-1)^{|R|}g(T)$
  $=\sum_{R\subseteq S}(-1)^{|R|}\sum_{T\subseteq S-R}g(T)$
  $=\sum_{R\subseteq S}(-1)^{|R|}f(S-R)$
  $=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S-T|}f(T)$
• 妙啊！
• 或者也可以這樣：
  $f(S)=\sum_{S\subseteq T}g(T)$
  $g(S)=\sum_{S\subseteq T}(-1)^{|T-S|}f(T)$

更神奇的多重子集反演

• 定義$\mu(S)$，如果S中有重複元素就是0，否則是$(-1)^{|S|}$,因爲沒有重複元素，所以$\sum_{T\subseteq S}\mu(T)=[S=0]$，跟上面是一樣的。

• 就有$f(S)=\sum_{T\subseteq S}g(T)$，$g(S)=\sum_{T\subseteq S}\mu(S-T)f(T)$

• 如果將每一個元素看作質因數，那這不就是莫比烏斯反演嗎！！！

卷積

• FFT也是反演？？？（霧）
• 其實反演就是將$f$分成兩個獨立的部分，例如$[d|gcd(i,j)]->[d|i][d|j]$
• 然後再把他們合起來。

總結

• 反演實際上就是一種容斥（所以上面相當於是在證明容斥爲什麼是對的）
• 對於推式子來說，反演有很大的作用。
• 但是還是要根據實際的題目而論。
• 之後做到好題再記錄下來吧。