莫比烏斯反演 講解

(同步個人博客 http://sxysxy.org/blogs/10)

　懵逼烏斯反演？反正WC2016上我是聽得一臉懵逼的，也就是學會了這個名詞的認讀與拼寫。->, ->（霧）

　這個東西可以用來簡化一些運算，對於定義在兩個正整數集合上的兩個函數f(x)與g(x)，滿足
，根據這個式子，我們可以發現

　當我們想要計算g(x)的時候，如果直接計算g(x)難以計算（太慢太慢太慢TLE TLE TLE 爆零爆零爆零退役退役退役…….），考慮用f(x)來計算g(x)。則從上面表格裏面發現的規律，這樣表示g(x)

其中的μ函數是我們覺得此處應該有的一個函數（也就是後面所說的莫比烏斯函數），根據上表發現的規律，他的值域爲{0, 1, -1} （這是顯然的，不清楚可以自行腦補)

　通常，通過換元法，令t = x/d ，則d = x/t，g(x) = Σ (下面d|x) f(d)*μ(x/d) = Σ (下面t|x) f(x/t)*μ(t)。也就是得到這樣的寫法:

那麼最後得到的結論就是
具體詳細證明安利一波百度百科 http://baike.baidu.com/link?url=gpiZ99LcvuK_Vf7K4KszIWRgmmRQkcIpyir9IgzBkyaA3FgVCAG7mouZNVzkZgqyYWdNYUpIwFOixrM6fc8fb_#3 以及WC2016的教師授課講義

稍有常識的人都能看出，現在問題的關鍵就是這個μ函數

觀察開頭給出的表格，經過簡單的代數變換，易發現μ函數的一些取值，即

μ(1) = 1

μ(2) = -1

μ(3) = -1

μ(4) = 0

μ(5) = -1

μ(6) = 1

定義莫比烏斯函數μ(d):

(1) d = 1時，μ(d) = 1

(2) d = p1 × p2 × … × pk ，（其中p1,p2..pk是互不相同的質數） 則μ(d) = (-1)^k （-1的k次冪）

(3) 其餘情況 μ(d) = 0

莫比烏斯函數是積性函數

　這裏的積性函數指的是數論中的積性函數，如果對於一個函數f(ab) = f(a)f(b)，其中a與b互質，則f(x)就是個在數論上的積性函數。如果對於任意a,b都滿足f(ab) = f(a)f(b)，則稱它爲完全積性函數。

證明莫比烏斯函數是積性函數：

對於μ(a)，μ(b)，當a與b互質時，直接代入μ(ab)與μ(a)μ(b)，就易證μ(ab) = μ(a)μ(b)

計算莫比烏斯函數

利用莫比烏斯函數是積性函數的性質，配合線性篩素數算法即可快速計算莫比烏斯函數。下面給出一個計算莫比烏斯函數的代碼

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 101
bool vis[MAXN];
int primes[MAXN];
int miu[MAXN];

int calc(int limit)
{
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    memset(miu, 0, sizeof(miu));
    int tot = 0;
    miu[1] = 1;   //根據定義，μ(1) = 1
    for(int i = 2; i <= limit; i++)
    {
        if(!vis[i])  //未發現的質數
        {
            primes[tot++] = i;
            miu[i] = -1;
                //質數，除了1以外，只有它自己是自己的質因數
                //因此根據定義，μ(i) = (-1)^1 = -1
        }
        for(int j = 0; j < tot; j++)
        {
            int k = i*primes[j];   
            if(k > limit)break;
            vis[k] = true;
            if(i % primes[j]) //i不是primes[j]的整數倍時，i*primes[j]就不會包含相同質因子。
                miu[k] = -miu[i];     //此時根據其積性函數的特性得 miu[k] = miu[i]*miu[primes[j]]，因爲primes[j]是質數，miu值爲-1
            else                      //然後化簡得miu[k] = -miu[i]; (perfect!)
                break;                
        }
    }
}

int main()
{
    calc(100);
    for(int i = 1; i <= 100; i++)
        printf("μ(%d) = %d \n", i, miu[i]);
    return 0;
}

後來的補充:

在不少oi/acm題目中，常常可以通過分塊莫比烏斯函數區間和(用前綴和實現)來加速。具體的一個例子可以看這裏: http://sxysxy.org/blogs/11